7.6. Сложение поступательных движений твердого тела

Твердое тело М движется поступательно (рис. 2.119) со скоростью по отношению к осям Oxyz (относительное движение), а эти оси движутся также поступательно со скоростью по отношению неподвижным осям O₁x₁y₁z₁ (переносное движение).

Так как относительное движение тела – поступательное, то скорости всех точек этого тела в относительном движении геометрически равны между собой. Переносное движение тоже поступательное, поэтому и при переносном движении скорости всех точек тела геометрически равны между собой.

Рис. 2.119

Абсолютная скорость любой точки тела по теореме о скоростях точек в сложном движении равна

,

т.е. если относительное и переносное движения твердого тела поступательные, то результирующее (абсолютное) движение тела будет поступательным с абсолютной скоростью, равной геометрической сумме скоростей составляющих движений.

Задача 2.28. Мостовой кран (рис. 2.120) движется по прямолинейным рельсам вдоль цеха со скоростью . Поперек моста перемещается тележка со скоростью по отношению к крану . С тележки опускается груз со скоростью по отношению к тележке . Определить абсолютную скорость груза.

Решение. Подвижные оси Охуz свяжем с тележкой, подвижные оси О₂х₂у₂z₂ - с краном, неподвижные оси О₁х₁у₁z₁ – с цехом (с землей). Относительное движение груза по отношению к осям О₁х₁у₁z₁ – поступательное со скоростью . Движение тележки относительно осей О₂х₂у₂z₂ и движение крана по отношению к осям Охуz – тоже поступательное со скоростями и . Следовательно, абсолютное движение груза по отношению к осям Охуz (к цеху) – поступательное с абсолютной скоростью .

Рис. 2.120

Построим параллелепипед скоростей. Так как скорости взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости равен

.

7.7. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей

Пусть относительное движение (по отношению к осям Охуz) – это вращение с угловой скоростью вокруг оси Oz. Переносное движение (по отношению к осям О₁х₁у₁z₁) – вращение вокруг оси с угловой скоростью . Оси Oz и пересекаются в точке О₂ (рис. 2.121).

Скорость точки О₂ будет равна нулю, так как она принадлежит обеим осям вращения, при движении тела ни в одном из составляющих движений участвовать не будет (по определению вращательного движения).

Рис. 2.121

Перенесем и вдоль осей вращения в точку О₂ и построим параллелограмм угловых скоростей, где диагональю будет являться абсолютная угловая скорость .

Следовательно, при сложении вращений вокруг двух пересекающихся осей результирующее движение тела будет вращением вокруг мгновенной оси и угловая скорость этого вращения равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей

.

С течением времени мгновенная ось меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует во вращении вокруг нескольких осей, пересекающихся в некоторой точке О, то результирующее движение будет вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О с угловой скоростью

.

Задача 2.29. Кривошип ОА (рис. 2.122) вращается вокруг неподвижной оси Оz₁ с угловой скоростью и заставляет подвижную коническую шестерню 1 радиуса r катиться по неподвижной конической шестерне 2 радиуса R. Определить относительную и абсолютную угловую скорости шестерни 1.

Рис. 2.122

Решение. Движение подвижной шестерни 1 можно рассматривать как сложное, состоящее из относительного вращения вокруг оси Оz с относительной угловой скоростью и переносного вращения вместе с кривошипом ОА (осью Оz) вокруг неподвижной оси Оz₁ с переносной угловой скоростью . Точка О неподвижна. В данной задаче рассматривается простейшая планетарная коническая передача с неподвижной шестерней 2.

В данный момент скорость точки Р касания колес равна нулю. Тогда соединив точки О и Р прямой получим мгновенную ось вращения. Вектор направлен вдоль мгновенной оси. Зная модуль и направление и , построим параллелограмм угловых скоростей , , , откуда найдем

, (а)

где .

Подставив значения и в (а) получим

.