Лекция 9. Транспортная задача

План

1. Математическая модель транспортной задачи.

_{2. Методы построения начального опорного плана транспортной задачи.}

1. Рассмотрим следующую задачу ЛП.

Пусть в регионе имеется m поставщиков угля (шахт) с запасами

^a₁ ^,

^a₂ ^,…,

^a_m ^{. В угле нуждаются n потребителей (тепловых электростанций) с по-}

требностями

^b₁ ^,

^b₂ ^,…,

^b_n ^{. Пусть}

^c_ij

^{( i = 1, m ,}

^{j = 1, n ) – цена перевозки единицы}

_{товара (например, за 1 т) от i -го поставщика j -му потребителю.}

Требуется определить неизвестные величины

^x_ij

^{( i = 1, m ,}

^{j = 1, n ), обо-}

значающие объём планируемой перевозки от i -го поставщика j -му потребите- лю. Будем стремиться минимизировать общую стоимость перевозок. Задачи та- кого типа называют транспортными задачами. Описанная задача однотовар-

ная.

Если выполняется условие

_{m n}

_∑ ^a_i ⁼ _∑^b _j ^{, то совокупные запасы поставщи-}

i=1

j =1

ков совпадают с совокупными потребностями. Тогда это закрытая транспорт-

ная задача. В противном случае – открытая (с нарушенным балансом).

Решение открытой задачи сводится к закрытой. Поэтому сформулируем

математическую модель закрытой транспортной задачи.

Пусть Z – общая стоимость перевозок. Тогда мы ищем минимум целевой функции:

_{m n}

^{Z = c}₁₁^x₁₁ ^{+ c}₁₂ ^x₁₂ ^{+ ... + c}_mn ^x_mn ⁼ _∑∑ ^c_ij ^x_ij ^{→ min . (1)}

Запишем ограничения задачи:

_⎪ ^{x21 22 2n 2}

^{⎧ x11 + x12 + ... + x1n = a1}

^{⎪ + x + ... + x = a}

_⎪ ^x_{m1 m 2 mn m}

^{⎪................................}

_⎪ ^{x11 21 m1 1}

^{⎪ + x + ... + x = a}

^{⎨ + x + ... + x = b}

^{⎪ x12 + x22 + ... + xm 2 = b2}

^⎪

_⎩

^{⎪................................}

^{⎪ x1n + x2n + ... + xmn = bn}

ⁱ⁼¹

^{j =1}

(2)

_{Объёмы перевозок должны быть неотрицательными:}

^x_ij ^{≥ 0}

^{( i = 1, m ; j = 1, n ). (3)}

Транспортные задачи удобно записывать табл. 1.

_{Табл. 1. Транспортная таблица}

b _j

a_i

^{a1 x}11

^{a2 x}₂₁

b₁

^c11

^c21

^x12

^x₂₂

b₂

^c12

…

^c22

…

…

…

^x1n

…

^x_2n

b_n

^c1n

^c2n

… … … …

^… _{… … … …}

^{am x}_m1

^cm1

^x_{m 2}

^cm 2

…

…

^x_mn

^cmn

Рассмотрим открытую транспортную задачу, у которой суммарные запа-

_{m n}

сы поставщиков больше суммарного спроса потребителей:

_∑ ^a_i ^> _∑^b _j ^{. Чтобы}

i=1

j =1

^{сделать задачу закрытой вводят фиктивного (n + 1) -го потребителя с потребно-}

m n

стью

^b_n+1 ⁼ _∑ ^a_i ⁻ _∑^b _j

и стоимостью перевозок 0. В табл. 1 добавляют столбец

i=1

j =1

с этой информацией.

_{m n}

Если же

_∑ ^a_i ^< _∑^b _j ^{, то вводится фиктивный (m + 1) -й поставщик с запа-}

сом

ⁱ⁼¹

^{n m}

^a_m+1 ⁼ _∑^b _j ⁻ _∑ ^a_i

^{j =1}

^{и стоимостью перевозок 0. В табл. 1 добавляется строка.}

j =1

i=1

_{Пример 1. Транспортная задача задана табл. 2.}

_{Табл. 2. Данные задачи}

b _j 15 15 16 18

a_i

4 1 2 1

20

4 6 3 2

30

5 2 1 4

10

Т.к.

_{3 4}

_∑ ^a_i ^{= 60 <} _∑^b _j

^{= 64 , то это открытая транспортная задача. Введём}

i=1

j =1

фиктивного 4-го поставщика с запасом

^a₄ ^{= 64 − 60 = 4}

и стоимостью перевозок

0. В табл. 2 добавляем строку и получаем табл. 3.

_{Табл. 3. Транспортная таблица с фиктивным поставщиком}

b _j 15 15 16 18

a_i

4 1 2 1

20

4 6 3 2

30

5 2 1 4

10

0 0 0 0

₄

2. Закрытая транспортная задача всегда имеет решение. Поэтому важно уметь находить начальный опорный план транспортной задачи, который был бы бли- зок к экстремальному значению целевой функции.

Рассмотрим метод северо-западного угла. Его суть заключается в том, что максимально возможная поставка помещается в северо-западную клетку таблицы. Т.е. максимально возможные поставки заполняют клетки слева напра-

во и построчно.

Пример 2. По данным примера 1 составим начальный опорный план с помощью метода северо-западного угла (табл. 4).

_{Табл. 4. Метод северо-западного угла}

b _j 15 15 16 18

a_i

_{4 1 2 1}

²⁰ 15 5

4 6 3 2

³⁰ _{10 16 4}

5 2 1 4

¹⁰ ₁₀

0 0 0 0

4 ₄

_{Начальный опорный план}

^{⎛15 5 0 0 ⎞}

^{⎜ ⎟}

_X ⁽¹⁾ _{= ⎜} ^{0 10 16 4} _{⎟ . Значение целевой}

функции:

₍₁₎

^{1 ⎜ 0 0 0 10 ⎟}

_{⎝ ⎠}

^{⎜ 0 0 0 4 ⎟}

^{Z ( X}₁

^{) = 4 ⋅ 15 + 1 ⋅ 5 + 6 ⋅ 10 + 3 ⋅ 16 + 2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 10 = 60 + 5 + 60 + 48 + 8 + 40 = 221.}

Более удачным и, в тоже время, несложным является метод минималь- ной стоимости. Он состоит в том, что максимально возможные поставки необ- ходимо осуществлять для потребителей с наименьшей ценой перевозок слева направо по строке. Остальных – удовлетворять по остаточному принципу, на- ращивая цену.

Пример 3. По данным примера 1 составим начальный опорный план с помощью метода минимальной стоимости (табл. 5).

_{Табл. 5. Метод минимальной стоимости}

b _j 15 15 16 18

a_i

_{4 1 2 1}

²⁰ 15 5

4 6 3 2

³⁰ 1 16 13

_{5 2 1 4}

10 ₁₀

⁴ ₄

0 0 0 0

_{Начальный опорный план}

^{⎛ 0 15 0 5 ⎞}

^{⎜ ⎟}

_X ⁽²⁾ _{= ⎜} ^{1 0 16 13} _{⎟ . Значение целевой}

1 1

функции:

₍₂₎

^{1 ⎜10 0 0 0 ⎟}

_{⎝ ⎠}

^{⎜ 4 0 0 0 ⎟}

^{Z ( X}₁

^{) = 1 ⋅ 15 + 1 ⋅ 5 + 4 ⋅ 1 + 3 ⋅ 16 + 2 ⋅ 13 + 5 ⋅ 10 = 15 + 5 + 4 + 48 + 26 + 50 = 148 .}

Как и ожидалось

^{Z ( X (2) ) < Z ( X (1) ) , поэтому в дальнейшем будем ис-}

пользовать только метод минимальной стоимости.

_{Замечание 1. Опорный план транспортной задачи должен содержать}

_{m + n − 1 базисных неизвестных, т.е.}

_{m + n − 1 заполненных клеток.}

Пример 4. Рассмотрим транспортную задачу закрытого типа (табл. 6).

_{Табл. 6. Транспортная таблица примера 4}

b _j

a_i

600

800

₁₀₀₀

400 600 800 600

4 3 2 1

2 1 7 9

3 6 8 4

Заполним транспортную таблицу методом минимальной стоимости по-

строчно (табл. 7).

_{Табл. 7. Заполненная транспортная таблица}

b _j 400 600 800 600

a_i

_{4 3 2 1}

600 ₆₀₀

2 1 7 9

⁸⁰⁰ _{200 600}

3 6 8 4

¹⁰⁰⁰ _{200 800}

В табл. 7 заполнено 5 клеток, а должно быть (замечание 1) заполнено

^{m + n − 1 = 3 + 4 − 1 = 6 .}

^{Нужна ещё одна заполненная клетка. Поэтому в одну из пустых клеток}

следует поставить 0. Клетка с нулём не должна образовывать цикл с заполнен-

ными клетками.

Нельзя заполнять нулём клетку (2,3), т.к. образуется замкнутый прямо- угольный цикл (2,3); (3,3); (3,1); (2,1); (2,3). Также нельзя заполнять нулём клетку (3,2), т.к. образуется замкнутый прямоугольный цикл (3,2); (3,1); (2,1); (2,2); (3,2). Подробнее о циклах – в следующей лекции.

Другие пустые клетки можно заполнять нулём. Среди допустимых пус-

_{тых клеток желательно выбирать клетку с наименьшей ценой перевозки. В дан-}

ной ситуации – это

_{возки 0 (табл. 8).}

^{c13 = 2 . Поэтому занесём в пустую клетку (1,3) объём пере-}

В этом случае говорят, что получено ацикличное, вырожденное опор-

ное решение.

Т.к. теперь заполненных клеток 6, то замечание 1 учтено.

_{Табл. 8. Транспортная таблица с учётом замечания 1}

b _j 400 600 800 600

a_i

_{4 3 2 1}

⁶⁰⁰ 0 600

2 1 7 9

⁸⁰⁰ _{200 600}

3 6 8 4

¹⁰⁰⁰ _{200 800}