Приложение б. Теория игр и задачи линейного про- граммирования Лекция 16. Экономические риски и теория игр

_{1. Теоретико-игровая модель.}

План.

2. Решение матричных игр с нулевой суммой.

3. Оптимальные смешанные стратегии и задачи линейного программирования.

4. Доминирующие стратегии и другие факты теории игр.

1. Изучение экономического риска базируются на разных концепциях. Одна из них – концепция теории игр и статистических решений.

Теория игр – это раздел математики, в котором изучаются математиче- ские модели принятия решений в условиях неопределённости и конфликтности сторон. Основателями теории игр являются американские ученые Джон фон

Нейман (1903-1957) и Оскар Моргенштерн (1902-1977). Игра – это модель конфликтной ситуации, имеющая определённые правила действий ее участни- ков, которые стараются победить путем выбора оптимальной стратегии поведе-

ния. Субъект принятия решения называется игроком, а целевая функция – пла-

тёжной функцией.

^{Первый игрок может выбрать одну из стратегий поведения i ( i = 1, m ),}

^{второй игрок – одну из своих стратегий j ( j = 1, n ). У игроков нет информа-}

^{ции о том, как поведёт себя противоположная сторона. Они могут только пред-}

_{полагать.}

Оба игрока знают значение выигрыша

^a_ij

при выборе первым стратегии

_{i , а вторым – стратегии j . Платёжная матрица имеет вид:}

_{⎛ a11}

_a12

_...

_{a1n ⎞}

_{⎜ ⎟}

_{A = ⎜} ^a21

^a₂₂

...

^{a2 n} _{⎟ .}

_{⎜ ... ... ... ... ⎟}

_{⎜ ⎟}

_⎝ ^a_m1

^a_{m 2}

...

^a_{mn ⎠}

Пример 1 (игра в «старые» и «новые» товары). Два производителя те- левизоров стараются вытеснить друг друга с рынка. Первый производит «ста- рые» товары – три модели с жидкокристаллическим экраном (ЖКЭ). Второй производит «новые» товары – две модели телевизоров с плазменным экраном (ПЭ).

При появлении 1-й модели ПЭ объём продаж 1-й модели ЖКЭ снизился до 40% (составил 0,4 от поступивших в продажу), для 2-й модели ЖКЭ – соста- вил 0,5 и т.д. (табл. 1).

_{Табл. 1. Объём продаж первого производителя}

		Второй игрок (ПЭ)
		1-я модель	2-я модель
Первый игрок (ЖКЭ)	1-я модель	0,4	0,8
	2-я модель	0,5	0,9
	3-я модель	0,7	0,8

Выигрыш первого игрока является проигрышем для второго. Платёжная

_{матрица первого игрока A}⁺ _{, второго – A}⁻ _:

^{⎛ 0, 4 0,8 ⎞}

_A⁺ ₌ ^⎜ _{0, 5 0, 9} ^⎟ _,

^{⎛ −0, 4}

_A⁻ ₌ ^⎜ _{−0, 5}

^{−0,8 ⎞}

_{−0, 9} ^⎟ _.

_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

_{⎜ 0, 7 0,8 ⎟}

_{⎜ −0, 7}

_{−0,8 ⎟}

_{⎝ ⎠ ⎝ ⎠}

Перед нами матричная игра двух лиц. Т.к.

_{+ −}

^a_ij

^{+ a}_ij

^{= 0 , ( i = 1, m ,}

^{j = 1, n ),}

то это игра с нулевой суммой.

Достаточно рассматривать игру с точки зрения одного из игроков (на-

пример, первого). Поэтому в дальнейшем будем иметь дело с платёжной мат-

_рицей:

^{⎛ 0, 4 0,8 ⎞}

_{⎜ ⎟}

_{⎝ ⎠}

^{A = ⎜ 0, 5 0, 9 ⎟ .}

^{⎜ 0, 7 0,8 ⎟}

2. Оптимальной стратегией игрока называется стратегия, обеспечивающая игроку при многоразовом повторения игры максимально возможный средний выигрыш V , который называют ценой игры. Решить игру – означает найти оптимальную стратегию для каждого игрока и цену игры. Это будет решение в чистых стратегиях.

_{Первый игрок, не зная, как поведёт себя второй, для каждой своей страте-}

гии i определяет минимальный (т.е. гарантированный) выигрыш

_{Справа от платёжной матрицы записывают минимумы по строкам:}

^α_i ^{= min a}_ij ^.

^j

_{⎛ a11}

_a12

_...

_{a1n ⎞ α1}

_{⎜ ⎟}

_{A = ⎜} ^a21

^a₂₂

...

^{a2 n} _⎟

^{α 2} _.

_{⎜ ... ... ... ... ⎟}

_...

_{⎜ ⎟}

_⎝ ^a_m1

^a_{m 2}

...

^a_{mn ⎠} ^α _m

^{Выберем среди чисел α}_i

максимальный элемент:

_{max αi = max min aij = α .}

i i ^j

_{Число α называется нижней чистой ценой игры или максимином. Но-}

мер строки

ⁱ₀ ^{, в которой находится α , определит номер предпочтительной}

стратегии первого игрока.

_{Для каждой стратегии j второго игрока выбирают максимальные эле-}

менты

_цам:

^β _j ^{= max a}_ij ^{. Под платёжной матрицей записывают максимумы по столб-}

ⁱ

_{⎛ a11}

_a12

_...

_{a1n ⎞ α1}

_{⎜ ⎟}

_{A = ⎜} ^a21

^a₂₂

...

^{a2 n} _⎟ ^{α 2}

_{⎜ ... ... ... ... ⎟}

_{... .}

_{⎜ ⎟}

^{⎝ am1}

^β1

^a_{m 2}

^β₂

...

...

^{amn ⎠ α m}

^βn

^{Среди чисел β j}

выбирают минимальный элемент:

^{min β} _j ^{= min max a}_ij ^{= β .}

^{j j i}

_{Число β называется верхней чистой ценой игры или минимаксом. Но-}

мер столбца

^j₀ ^{, в котором находится β , определит номер предпочтительной}

стратегии второго игрока.

Теорема 1 (о максимине и минимаксе). Для любой матричной игры двух лиц с нулевой суммой и ценой игры V имеет место неравенство:

^{α ≤ V ≤ β .}

^{Если же в игре с матрицей A нижняя и верхняя чистые цены игры совпадают,}

то игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры V * :

^{V * = α = β .}

^{Из формулировки теоремы следует, что седловая точка определяет пару}

чистых оптимальных стратегий

⁽ⁱ₀ ^{, j}₀ ⁾

первого и второго игроков, соответст-

венно. Седловой элемент

_{a является минимальным в}

i j

0 0

i₀ -й строке и макси-

мальным в

^j₀ ^{-м столбце. Игра решена полностью, если в матрице A имеется}

седловая точка.

Решение примера 1 методом максимина и минимакса. Справа от мат-

рицы A запишем элементы минимальные по строкам, выберем среди них мак-

^{симальный и выделим его уголком. Получим, что α = 0, 7 .}

^{Под матрицей A запишем элементы максимальные по столбцам, выберем}

_{из них минимальный и выделим его уголком. Имеем}

_{β = 0, 7 .}

^{Т.к. α = β , то игра имеет седловую точку. Седловой элемент}

^{деляем квадратом:}

^{a31 = 0, 7}

вы-

^⎛ 0, 4 0,8 ^⎞

_{⎜ ⎟}

0, 4

_{A = ⎜}

_{0, 5 0, 9 ⎟}

_{0, 5}

_{⎝ ⎠}

^{⎜ 0, 7 0,8 ⎟}

^{0, 7 0, 9}

_.

^{0, 7}

Ответ: чистой оптимальной стратегией для первого игрока будет 3-я

^{стратегия, для второго – 1-я, чистая цена игры составит V * = 0, 7 .}

^{3. Отметим, что далеко не все платёжные матрицы имеют седловые точки. Сле-}

довательно, не каждая матричная игра имеет оптимальные чистые стратегии.

Пример 2 (планирование структуры посевных площадей). Пусть аг-

рарное предприятие (первый игрок) может посеять одну из двух сельскохозяй-

^{ственных культур ( i = 1, 2 ). Состояние экономической среды (стратегии второго}

^{игрока) определяется погодными условиями: 1) год засушливый; 2) год нор-}

^{мальный; 3) год дождливый ( j = 1, 2, 3 ). Информация о выигрышах первого иг-}

^{рока помещена в табл. 2.}

_{Табл. 2. Доход от реализации (млн. грн.)}

		Второй игрок (погода)
		Сухая погода	Нормальная погода	Дождливая погода
Первый игрок (аграрное пред- приятие)	1-я культура	1	3	4
	2-я культура	4	3	2

Платёжная матрица имеет вид:

^{⎛ 1 3 4 ⎞}

^{A = ⎜ ⎟ .}

^{⎝ 4 3 2 ⎠}

^{Для определения чистых стратегий игроков применим метод максимина и}

_{минимакса:}

^{⎛ 1 3 4 ⎞ 1}

^{A = ⎜ ⎟}

^{⎝ 4 3 2 ⎠ 2 .}

^{4 3 4}

_{Нижняя чистая цена игры}

_{α = 2 . Верхняя чистая цена игры}

_{β = 3 . Числа}

_{α и β не совпадают. Седловой точки нет. Следовательно, чистые оптимальные}

стратегии для игроков не существуют. Чистую цену игры V *

_{возможно.}

определить не-

Вернёмся к рассмотрению общих вопросов. Как поступать, если платёж-

_{ная матрица}

_{⎛ a11}

_a12

_...

_{a1n ⎞}

_{⎜ ⎟}

_{A = ⎜} ^a21

^a₂₂

...

^{a2 n} _⎟

_{⎜ ... ... ... ... ⎟}

_{⎜ ⎟}

_⎝ ^a_m1

^a_{m 2}

...

^a_{mn ⎠}

не содержит седловой точки и чистых оптимальных стратегий нет?

В этом случае применяют не чистые, а смешанные стратегии. Т.е. первый игрок применяет свои m стратегий с определёнными вероятностями. Вектор вероятностей X неизвестен:

^{X = ( x}₁^{; x}₂ ^{;...; x}_m ^{) ,}

^x₁ ^{+ x}₂ ^{+ ... + x}_m ^{= 1 .}

Аналогично, для второго игрока неизвестен вектор вероятностей Y , с ко-

_{торыми он принимает свои стратегии:}

^{Y = ( y}₁^{; y}₂ ^{;...; y}_n ^{) ,}

^y₁ ^{+ y}₂ ^{+ ... + y}_n ^{= 1 .}

Векторы X и Y называются смешанными стратегиями первого и вто- рого игроков, соответственно. Координаты этих векторов (вероятности) опре- деляют на основе статистических данных, т.е. эмпирическим путём. Поэтому данный раздел математики называют теорией игр и статистических решений.

Теорема 2 (основная теорема матричных игр фон Неймана). Любая матричная игра двух лиц с нулевой суммой имеет решение в виде смешанных

стратегий.

Для того чтобы найти оптимальные смешанные стратегии X и Y , а также определить неизвестную цену игры V , используют следующую теорему.

Теорема 3 (о свойствах оптимальных смешанных стратегий). Пусть задана игра с известной платёжной матрицей A и неизвестной ценой V . Для

того чтобы вектор

^{X = ( x}₁^{; x}₂ ^{;...; x}_m ⁾

был оптимальной смешанной стратегией

первого игрока, необходимо и достаточно выполнение условий:

^{x1 + x2 + ... + xm = 1 , (1)}

_⎪^a₁₂ ^x_{1 22 2 m 2 m}

^{⎧a11 x1 + a21 x2 + ... + am1 xm ≥ V ,}

^⎪ _{+ a x + ... + a x ≥ V ,}

^⎨

^{⎪........................................}

^{⎪⎩a1n x1 + a2 n x2 + ... + amn xm ≥ V ,}

(2)

^x_i ^{≥ 0}

^{( i = 1, m ). (3)}

Аналогично для второго игрока: чтобы вектор

^{Y = ( y}₁^{; y}₂ ^{;...; y}_n ⁾

был опти-

мальной смешанной стратегией второго игрока, необходимо и достаточно вы-

_{полнение условий:}

^{y1 + y2 + ... + yn = 1 , (4)}

_⎪^a₂₁ ^y_{1 22 2 2 n n}

^{⎧a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn ≤ V ,}

^⎪ _{+ a y + ... + a y ≤ V ,}

^⎨

^{⎪........................................}

^{⎪⎩am1 y1 + am 2 y2 + ... + amn yn ≤ V ,}

(5)

^y _j ^{≥ 0}

^{( j = 1, n ). (6)}

_{Рассмотрим применение теоремы 3 при условии, что все элементы пла-}

_{тёжной матрицы A положительные. Тогда}

_{V > 0}

_{и на это число можно разде-}

_{лить левые и правые части условий задачи (1)-(3):}

^x1 ₊ ^x2

_{+ ... +} ^xm

₌ ¹ _{, (7)}

V V V V

_{⎧a ⋅ x1 + a}

_{⋅ x2}

_{+ ... + a}

_{⋅ xm}

_{≥ 1,}

^{⎪ 11} V

_⎪

21 _V

m1 _V

_{⎪a ⋅} ^x_{1 + a}

_⋅ ^x₂

_{+ ... + a}

_⋅ ^x_m

_{≥ 1,}

_⎨

¹² V

²² V

^{m 2} V

(8)

^{⎪........................................}

_⎪

_{⎪a ⋅} ^x_{1 + a}

_⋅ ^x_{2 + ... + a}

_⋅ ^x_m

_{≥ 1,}

¹ⁿ _V

^{2 n} _V

^mn _V

^{xi ≥ 0 ( i = 1, m ). (9)}

^V

_{Введём замену переменных:}

_{t =} ^x_{1 , t}

₌ ^x_{2 ,..., t}

₌ ^x_{m , Z =}

¹ _{. Т.к. первый}

¹ _V ² _V

^m _{V V}

_{игрок стремится максимизировать цену игры, то}

_{V → max , а значит}

_{Z → min .}

Задача (7)-(9) примет вид задачи линейного программирования (ЛП):

^{Z = t1 + t2 + ... + tm → min , (10)}

_⎪^a₁₂^t_{1 22 2 m 2 m}

^{⎧a11t1 + a21t2 + ... + am1tm ≥ 1,}

^⎪ _{+ a t + ... + a t ≥ 1,}

^⎨

^{⎪........................................}

^{⎪⎩a1nt1 + a2 nt2 + ... + amntm ≥ 1,}

(11)

^t_i ^{≥ 0}

^{( i = 1, m ). (12)}

_{Аналогично для второго игрока. Сделаем замену переменных в задаче (4)-}

_{(6): w}

₌ ^y_{1 , w}

₌ ^y_{2 ,..., w}

₌ ^y_{n , F =}

¹ _{. Будет получена вторая задача ЛП:}

¹ _V ² _V

ⁿ _{V V}

^{F = w1 + w2 + ... + wn → max , (13)}

_⎪^a₂₁^w_{1 22 2 2 n n}

^{⎧a11w1 + a12 w2 + ... + a1n wn ≤ 1,}

^⎪ _{+ a w + ... + a w ≤ 1,}

^⎨

^{⎪........................................}

^{⎪⎩am1w1 + am 2 w2 + ... + amn wn ≤ 1,}

(14)

^w _j ^{≥ 0}

^{( j = 1, n ). (15)}

Заметим, что задачи (10)-(12) и (13)-(15) являются двойственными отно- сительно друг друга. Для их решения можно применять симплекс-метод, метод искусственного базиса и в задачах малой размерности – графический метод.

Решение примера 2. Ранее мы доказали, что платёжная матрица

^{⎛ 1 3 4 ⎞}

^{A = ⎜ ⎟}

^{⎝ 4 3 2 ⎠}

^{не имеет седловой точки и чистых оптимальных стратегий для этой задачи не}

существует.

Согласно теореме 2 применим смешанные стратегии. Вектор вероятно-

стей X первого игрока неизвестен:

^{X = ( x}₁^{; x}₂ ^{) ,}

^x₁ ^{+ x}₂ ^{= 1 .}

Аналогично, для второго игрока неизвестен вектор вероятностей Y , с ко-

_{торыми он принимает свои стратегии:}

^{Y = ( y}₁^{; y}₂ ^{; y}₃ ^{) ,}

^y₁ ^{+ y}₂ ^{+ y}₃ ^{= 1.}

_{Применим теорему 3. Цена игры V является неизвестной. Для того чтобы}

вектор

^{X = ( x}₁^{; x}₂ ⁾

был оптимальной смешанной стратегией первого игрока, не-

обходимо и достаточно выполнение условий:

^{x1 + x2 = 1 , (16)}

^{⎧ x1 + 4 x2 ≥ V ,}

_⎪

_⎪

^{⎨3x1 + 3x2 ≥ V ,}

^{⎩4x1 + 2x2 ≥ V ,}

(17)

^x_i ^{≥ 0}

^{( i = 1, 2 ). (18)}

Аналогично для второго игрока: чтобы вектор

^{Y = ( y}₁^{; y}₂ ^{; y}₃ ⁾

был опти-

мальной смешанной стратегией второго игрока, необходимо и достаточно вы-

_{полнение условий:}

^{y1 + y2 + y3 = 1, (19)}

_{⎧ y1 + 3 y2 + 4 y3 ≤ V ,}

^⎨

^{⎩4 y1 + 3 y2 + 2 y3 ≤ V ,}

(20)

^y _j ^{≥ 0}

^{( j = 1, 3 ). (21)}

_{Введём замену переменных: t}

₌ ^x_{1 , t}

₌ ^x_{2 , Z =}

¹ _{. Задача (16)-(18) примет}

_{вид задачи ЛП:}

¹ _V ² _{V V}

^{Z = t1 + t2 → min , (22)}

^{⎧t1 + 4t2 ≥ 1,}

_⎪

_⎪

^{⎨3t1 + 3t2 ≥ 1,}

^{⎩4t1 + 2t2 ≥ 1,}

(23)

^t_i ^{≥ 0}

^{( i = 1, 2 ). (24)}

_{Аналогично для второго игрока. Сделаем замену переменных в задаче}

_{(19)-(21): w}

₌ ^y_{1 , w}

₌ ^y_{2 , w}

₌ ^y_{3 , F =}

¹ _{. Будет получена вторая задача ЛП:}

¹ V ² V

³ _{V V}

^{F = w1 + w2 + w3 → max , (25)}

_{⎧w1 + 3w2 + 4w3 ≤ 1,}

^⎨

^{⎩4w1 + 3w2 + 2w3 ≤ 1,}

(26)

^{w j ≥ 0}

^{( j = 1, 3 ). (27)}

Т.к. задача (22)-(24) содержит две переменных, то ёё удобно решить гра-

_{фически (студентам проделать самостоятельно). Оптимальный план единствен-}

_{ный: T * = ⎛}

_{2 ; = 3 ⎞ , Z = 5 .}

_{⎝ ⎠}

^⎜ _{14 14} ^⎟

min ₁₄

Задачу (25)-(27) можно решить симплекс-методом (студентам проделать самостоятельно). Однако удобнее воспользоваться первой и второй теорема- ми двойственности.

Т.к.

^{Zmin = Fmax , то}

w + w + w = ⁵ . Оптимальные значения

^{1 2 3 14}

t * = ² и

^{1 14}

₃

^{t2 * =} ₁₄

строго больше нуля, поэтому 1-е и 2-е ограничения в системе (26) бу-

дут строгими равенствами. В итоге, для решения задачи (25)-(27) достаточно

_{решить систему уравнений (студентам проделать самостоятельно):}

_{⎧w + w}

_{+ w = 5 ,}

^{⎪ 1 2 3} 14

_⎪

^{⎨w1 + 3w2 + 4w3 = 1,}

^{⎪4w + 3w + 2w = 1.}

^{⎪ 1 2 3}

^⎩

^{Однако, лучше всего, дополнительно учесть тот факт, что при}

_{t * =} ² _и

^{1 14}

₃

^{t2 * =} ₁₄

в системе (23) 1-е и 3-е ограничения обратятся в строгие равенства, а 2-

е – в неравенство. Следовательно,

_{приобретёт вид:}

^{w1* > 0}

^{и w3 * > 0 , а}

^{w2 * = 0 . Т.о. система (26)}

^{⎧w1 + 4w3 = 1,}

^⎨

^{⎩4w1 + 2w3 = 1.}

Решая систему, придём к оптимальному плану:

_{⎝ ⎠}

_{W * = ⎛}

_{2 ; 0; = 3 ⎞ ,}

_{F =} ⁵ _{. Т.е. задачи ЛП (22)-(24) и (25)-(27) решены полностью.}

^{max 14}

₁

^{⎜ 14 14 ⎟}

Выполним обратную замену

_{y1 = w1V , y2 = w2V , y3 = w3V .}

^{V = , x}₁ ^{= t}₁^{V , x}₂ ^{= t}₂^{V и}

^Z

_{Ответ: оптимальной смешанной стратегией для первого игрока будет}

^{X * = (0, 4; 0, 6) , для второго –}

^{V * = 2,8 .}

^{Y * = (0, 4; 0; 0, 6) , чистая цена игры составит}

Значит, аграрному предприятию следует под 1-ю сельскохозяйственную культуру отвести 40% земли, под 2-ю – 60%. При этом гарантированный доход от реализации продукции составит 2,8 млн. грн.

4. Рассмотрим несколько полезных фактов из теории игр.

_{Пусть для i -й и k -й стратегий первого игрока выполняются соотношения}

^a_ij ^{≥ a}_kj

^{( j = 1, n ),}

причём хотя бы одно из них является строгим неравенством. Т.е. элементы i -й строки больше либо равны элементов k -й строки. Тогда говорят, что стратегия i превосходит или доминирует стратегию k . Т.к. первый игрок заинтересован в увеличении своего выигрыша, то его доминирующая стратегия i предпоч- тительнее стратегии k .

Пусть теперь для j -й и r -й стратегий второго игрока выполняются соот-

_{ношения}

^a_ij ^{≥ a}_ir

^{( i = 1, m ),}

причём хотя бы одно из них является строгим неравенством. Т.е. элементы j - го столбца больше либо равны элементов r -го столбца. Значит у второго игро- ка стратегия j доминирует стратегию r . Т.к. второй игрок заинтересован в

уменьшении выигрыша первого игрока, то его r -я стратегия предпочтительнее

j -й стратегии.

Замечание 1. Наличие доминирующих стратегий позволяют снизить раз- мерность матрицы игры A и, тем самым, уменьшить объём вычислений при нахождении смешанных стратегий.

Пример 3. Игра двух лиц с нулевой суммой задана матрицей:

^{⎛ 4 3 5 1 ⎞}

^{⎜ 4 5 3 5 ⎟}

^{A = ⎜ ⎟ .}

^{⎜ 5 3 5 3 ⎟}

_{⎝ ⎠}

^{⎜ 1 5 4 8 ⎟}

^{Для определения чистых стратегий игроков применим метод максимина и}

_{минимакса:}

^{⎛ 4 3 5 1 ⎞ 1}

^{⎜ 4 5 3 5 ⎟ 3}

^{A = ⎜ ⎟}

^{⎜ 5 3 5 3 ⎟ 3 .}

^{⎜ ⎟}

^{⎝ 1 5 4 8 ⎠ 1}

^{5 5 5 8}

_{Нижняя чистая цена игры}

_{α = 3 . Верхняя чистая цена игры}

_{β = 5 . Числа}

_{α и β не совпадают. Седловой точки нет. Следовательно, чистые оптимальные}

стратегии для игроков не существуют. Чистую цену игры V *

_{возможно.}

определить не-

Предположим, что неизвестная цена игры равна V , и будем искать реше- ние игры в смешанных стратегиях. Пусть для первого игрока – это неизвестный вектор вероятностей X :

^{X = ( x}₁^{; x}₂ ^{; x}₃ ^{; x}₄ ^{) ,}

^x₁ ^{+ x}₂ ^{+ x}₃ ^{+ x}₄ ^{= 1 .}

Аналогично, для второго игрока:

^{Y = ( y}₁^{; y}₂ ^{; y}₃ ^{; y}₄ ^{) ,}

^y₁ ^{+ y}₂ ^{+ y}₃ ^{+ y}₄ ^{= 1.}

Проверим матрицу A на наличие доминирующих стратегий. Сравнивая выигрыши построчно, видим, что у первого игрока 3-я стратегия доминирует 1- ю. Следовательно, для первого игрока 3-я стратегия предпочтительнее 1-й.

_{В теории игр доказано, что можно в матрице A вычеркнуть 1-ю строку,}

положив

^{x1 = 0 . Будет получена матрица игры:}

^{⎛ 4 5 3 5 ⎞}

_{⎜ ⎟}

_{⎝ ⎠}

^{A1 = ⎜ 5 3 5 3 ⎟ .}

^{⎜ 1 5 4 8 ⎟}

У новой матрицы

_{V .}

A¹ цена игры будет такой же, как и у матрицы A , т.е. равна

_{По элементам матрицы}

_A¹ _{видно, что у второго игрока 4-я стратегия до-}

_{минирует 2-ю. Т.о. 2-я стратегия второго игрока предпочтительнее его 4-й стра-}

тегии. Следовательно, в матрице

^{y4 = 0 :}

A¹ можно вычеркнуть 4-й столбец, положив

_{⎛ 4 5 3 ⎞}

_{⎜ ⎟}

_{⎝ ⎠}

^{A2 = ⎜ 5 3 5 ⎟ .}

^{⎜ 1 5 4 ⎟}

^{Цена игры останется прежней, т.е. V .}

_{В матрице}

_A² _{доминирующих стратегий нет. Т.о. исходную игру с мат-}

^{рицей A размерности 4 × 4}

^{3 × 3 .}

удалось свести к игре с матрицей

A² размерности

На данный момент смешанные стратегии игроков для исходной задачи имеют вид:

^{X = (0; x}₂ ^{; x}₃ ^{; x}₄ ^{) ,}

^{Y = ( y}₁^{; y}₂ ^{; y}₃ ^{; 0) .}

_{Далее, используя матрицу}

_A² _{, применяем теорему 3. Составляем двойственные}

_{задачи ЛП (10)-(12) и (13)-(15). Находим оптимальные значения вероятностей}

x₂ *, x₃*, x₄ * и стоятельно).

y₁*, y₂ *, y₃ * , а также цену игры V *

(студентам проделать само-

Теорема 4. Пусть задана игра двух лиц с матрицей

^V_A ^{. Тогда другая игра с матрицей}

^{A = (aij )}

и ценой игры

^{B = (b}_ij ^{) = (c ⋅ a}_ij ^{+ d ) ,}

^{c > 0 ,}

_{будет иметь оптимальные смешанные стратегии игроков такие же, как и для}

игры с матрицей ношением:

^{A = (aij ) . Причём цена игры VB}

^V_B ^{= c ⋅V}_A ^{+ d .}

связана с ценой игры V_A

соот-

Замечание 2. Пользуясь теоремой 4, можно упрощать элементы исходной матрицы A для облегчения вычислений.

Пример 4. Рассмотрим игру с матрицей

^{⎛ 300 400 ⎞}

^{A = ⎜ ⎟ .}

^{⎝ 700 200 ⎠}

^{Для определения чистых стратегий игроков применим метод максимина и}

_{минимакса:}

_{⎝ ⎠}

_{A =} ^{⎛ 300 400 ⎞}

^{⎜ 700 200 ⎟}

^{700 400}

300

200 ^.

_{Нижняя чистая цена игры}

_{α = 300 . Верхняя чистая цена игры}

_{β = 400 .}

^{Числа α и β не совпадают. Седловой точки нет. Следовательно, чистые опти-}

^{мальные стратегии для игроков не существуют. Чистую цену игры определить}

невозможно. Доминирующих стратегий нет.

_{Воспользуемся теоремой 4. Каждый элемент матрицы A разделим на 100}

и вычтем 2. Будет получена матрица

^{B = (bij ) = (0, 01⋅ aij − 2) , т.е.}

_{⎛ 1 2 ⎞}

^{B = ⎜ ⎟ .}

^{⎝ 5 0 ⎠}

^{Смешанные стратегии игроков для матриц A и B совпадают. Обозначим}

векторы неизвестных вероятностей через

_{связаны равенством:}

^{X = ( x1; x2 )}

^{и Y = ( y1; y2 ) . Цены игр}

^{VB = 0, 01⋅VA − 2 .}

^{Далее, используя матрицу B , применяем теорему 3. Составляем двойст-}

венные задачи ЛП (10)-(12) и (13)-(15). Находим оптимальные значения веро-

ятностей и цену игры V_B * (студентам проделать самостоятельно).

_{Окончательно получим:}

_{V * =} ^V_B ^{* +2} _{= 100 ⋅ (V}

_{* +2) .}

^A _{0, 01} ^B

Завершая данную лекцию, отметим, что игровые методы активно исполь- зуются при изучении экономических рисков. Для нахождения статистических решений применяются критерии Байеса, Бернулли, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и др.