Лекция 7. Экономико-математический анализ решения задач линейного программирования

План

1. Интервалы устойчивости ресурсов.

2. Интервалы устойчивости цен на продукцию.

1

3. Анализ целесообразности производства.

1. Двойственные оценки являются показателем влияния ограничений на значение целевой функции.

_{Поэтому представляет практический интерес вычислить предельные зна-}

чения правых частей системы ограничений b_i

_{(нижней и верхней границы запа-}

_JG*

сов ресурсов), при которых оптимальный план X

останется неизменным.

Пример 1. Для исходной задачи ЛП из примера табл. 1 найти интервалы устойчивости ресурсов.

_{Табл. 1. Симметричная пара для примера о строительных смесях}

Исходная задача	Двойственная задача
Z = 4x1 + 5x2 → max; ⎧0, 25x1 + 0, 6x2 ≤ 15, ⎪ ⎨0, 25x1 + 0, 2x2 ≤ 7, ⎪0, 5x1 + 0, 2x2 ≤ 12; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	F = 15 y1 + 7 y2 + 12 y3 → min; ⎧0, 25 y1 + 0, 25 y2 + 0, 5 y3 ≥ 4, ⎨ ⎩0, 6 y1 + 0, 2 y2 + 0, 2 y3 ≥ 5; y ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ 0.
JJG* X = (12; 20) , Zmax = 148 .	JG* Y = (4, 5;11, 5; 0) , Fmin = 148 .

y

y

y

2

3

⎩ _{1 2 3}

_{Решение. Оптимальное решение двойственной задачи имеет вид:}

y

y

1

2

3

^{* = 4, 5 ;}

^{* = 11, 5 ;}

^{* = 0 . Т.к.}

^{* > 0 ,}

^{* > 0 и}

^{* = 0 , то согласно второй}

_{теореме двойственности первые два ограничения исходной задачи при подста-}

y

_JJG*

новке оптимального решения

X = (12; 20)

обратятся в равенства, а третье ог-

раничение останется неравенством.

_{Имеем систему:}

^{⎧0, 25x1 + 0, 6 x2 = 15;}

^⎪

_⎩

^{⎨0, 25x1 + 0, 2x2 = 7;}

^{⎪0, 5x1 + 0, 2x2 ≤ 12.}

^{Правая часть первого ограничения исходной задачи (число 15) – это величина}

запаса первого ресурса. Заменим число 15 на неизвестный параметр b₁ :

^{⎧0, 25x1 + 0, 6x2 = b1;}

^⎪

_⎩ 1 2

^{⎨0, 25x1 + 0, 2x2 = 7;}

^{⎪0, 5x + 0, 2x ≤ 12.}

^{Из первых двух равенств выразим неизвестные}

ченные выражения в третье неравенство системы:

^⎧

^{⎪ x1 = −2b1 + 42;}

_⎪

x₁ ,

x₂ и подставим полу-

_{⎪ x = 5 b}

_{− 35 ;}

2

^{⎨ 2 1}

⎪ ²

^⎪₋ ¹ _b

₊ ³⁵ _{≤ 12.}

₂ ¹ ₂

Для первых двух равенств учтём тот факт, что

_{приобретёт вид:}

^{x1 ≥ 0 и}

^{x2 ≥ 0 . Система}

^⎧

^{⎪−2b1 + 42 ≥ 0;}

_⎪

_{⎪ 5 b}

_{− 35 ≥ 0;}

2

2

^{⎨ 1}

^⎪

^⎪₋ ¹ _b

₊ ³⁵ _{≤ 12.}

^{Решим её относительно b}₁ ^:

₂ ¹ ₂

^{⎧b1 ≤ 21;}

^⎪

_⎩ 1

^{⎨b1 ≥ 7;}

^{⎪b ≥ 11.}

^{Интервал устойчивости 1-го ресурса b1 ∈[11; 21] ,}

^{Аналогичными действиями определим интервал устойчивости величины}

запаса b₂

2-го ресурса:

_⎧0, 25x₁ + 0, 6 x₂ = 15;

^⎪

_⎩ 1 2

^{⎨0, 25x1 + 0, 2x2 = b2 ;}

^{⎪0, 5x + 0, 2x ≤ 12.}

^{Указание. Студентам выполнить самостоятельно и получить b2 ∈[5; 7,8] .}

^{Краткое решение:}

^⎧

^{⎪ x1 = 6b2 − 30;}

_⎪

^⎧

^{⎪6b2 − 30 ≥ 0;}

_⎪

_{⎧b2 ≥ 5;}

_{⎪ x 5 b}

_{75 ;}

_{⎪ 5 75 ⎪}

_{=− +}

_{⎨− b}

_{+ ≥ 0;}

_{b ≤ 15;}

_{b ∈[5; 7,8] .}

_{⎨ 2 2 2 2}

_{2 2 2}

_{⎨ 2 2}

_{⎪ ⎪ ⎪b}

_{≤ 7,8.}

⎪ ⁵ _b

₋ ¹⁵ _{≤ 12.}

⎪ ⁵ _b

₋ ¹⁵ _{≤ 12.} ^{⎩ 2}

₂ ² ₂

₂ ² ₂

Определим интервал устойчивости для 3-го ресурса. Для этого правую часть третьего ограничения (число 12) заменим на неизвестный параметр b₃ :

^{⎧0, 25x1 + 0, 6 x2 = 15;}

^⎪

_⎩ 1 2 3

^{⎨0, 25x1 + 0, 2x2 = 7;}

^{⎪0, 5x + 0, 2x ≤ b .}

Найдём из первых двух уравнений неизвестные

_{неравенство системы. Получим:}

x₁ ,

x₂ и подставим их в третье

^{⎧ x1 = 12;}

^⎪

_⎩ 3

^{⎨ x2 = 20;}

^{⎪10 ≤ b .}

^{Интервал устойчивости 3-го ресурса: b3 ∈[10; +∞) .}

^{Заметим, что вычисленные значения неизвестных}

_JG*

x₁ ,

x₂ совпадают с оп-

тимальным решением исходной задачи ЛП

X = (12; 20) . Поэтому можно было

сразу подставить значения решить его.

^{x1 = 12 и}

^{x2 = 20}

в последнее неравенство, а затем

Ответ: Интервал устойчивости 1-го ресурса:

^b₁ ^{∈[11; 21] . Интервал устой-}

чивости 2-го ресурса:

^b₃ ^{∈[10; +∞) .}

^{b2 ∈[5; 7,8] . Интервал устойчивости 3-го ресурса:}

2. Благодаря теории двойственности можно проводить и другие виды анализа.

_{Интервалом устойчивости цены за единицу j -й продукции ( j = 1, n )}

; c

^c _{j j}

называется отрезок

_[ min

max _]

со следующими свойствами. Если цена

_{c ∈[c}

^min _{; c}

^max _{], а цены на остальные виды продукции зафиксированы, то оп-}

j j j

_{тимальный план выпуска продукции}

_JG*

X

_{останется неизменным.}

Пример 2. Для исходной задачи ЛП из табл. 1 найти интервалы устойчи-

вости цен на продукцию.

_{Решение. Оптимальное решение исходной задачи содержит положитель-}

1

ные числа:

^{x * = 12 ;}

^{x * = 20 . Согласно второй теореме двойственности, два ог-}

раничения двойственной задачи

2

^{0, 25 y1 + 0, 25 y2 + 0, 5 y3 ≥ 4 ,}

^{0, 6 y1 + 0, 2 y2 + 0, 2 y3 ≥ 5}

^{должны обратиться в точные равенства.}

3

Кроме того,

^{y * = 0 . Поэтому получим систему:}

^{⎧0, 25 y}₁ ^{+ 0, 25 y}₂ ^{+ 0, 5 y}₃ ^{= 4;}

_⎨

^{⎧0, 25 y1 + 0, 25 y2 = 4;}

^⎪

_{⎨0, 6 y1 + 0, 2 y2 = 5;}

_⎩0, 6 y₁ + 0, 2 y₂ + 0, 2 y₃ = 5.

_{⎪ y = 0.}

^{⎩ 3}

_{Правая часть первого ограничения двойственной задачи (число 4) – это}

цена единицы первой продукции. Заменим число 4 на неизвестный параметр

^{⎧0, 25 y}₁ ^{+ 0, 25 y}₂ ^{= c}₁ ^;

^⎨

^{⎩0, 6 y1 + 0, 2 y2 = 5.}

c₁ :

_{Для определения интервала устойчивости находим из системы неизвест-}

ные

y₁ и

y₂ :

_{⎧ y = 25 − 4c1 ;}

^{⎪ 1 2}

_⎨

y

^⎪

^{⎩⎪ 2}

^{= 12c1 − 25 .}

²

Т.к.

^y₁ ^{≥ 0 и}

^y₂ ^{≥ 0 , то имеем систему неравенств, которую решаем относи-}

тельно

c₁ :

_{⎧ 25 − 4c1 ≥ 0;}

^{⎪ 2}

_⎨

Получено решение:

^{⎪12c1 − 25 ≥ 0.}

^{⎪⎩ 2}

^⎧c1 ^{≤ 6, 25;}

_⎪

_⎪

^⎨c ≥ 2 ¹ .

^{⎩ 1 12}

Т.о. интервал устойчивости цены c₁

_{⎡2 1 ; 6, 25⎤ .}

на первую продукцию составляет:

^{12 ⎥⎦}

^{Указание. Студентам самостоятельно определить интервал устойчивости}

^{цены c}₂

^{на вторую продукцию и получить [3, 2;9, 6] .}

Краткое решение:

_{⎧ y = 5c2 − 16 ;}

_{⎧ 5c2 − 16 ≥ 0;}

^{⎧0, 25 y1 + 0, 25 y2 = 4; ⎪ 1 2 ⎪ 2}

_{⎨ ⎨ ⎨}

^{⎧c2 ≤ 9, 6;}

_⎨

y

^{⎩0, 6 y1 + 0, 2 y2 = c2 .}

^{Пример 2 выполнен.}

^⎪

^{⎩⎪ 2}

^{= 48 − 5c2 .}

²

^{⎪ 48 − 5c2}

^{⎪⎩ 2}

^{≥ 0.}

^{⎩c2 ≥ 3, 2.}

3. Двойственные оценки являются показателем целесообразности производ-

_{ства новых видов продукции.}

Допустим, имеется возможность начать выпуск продукции

^P_n+1 ^{. Нормы}

_{расхода ресурсов на производство одной единицы продукции составляют соот-}

ветственно

^a_1,n+1 ^;

^a_2,n+1 ^;…;

^a_m,n+1 ^{. Цена единицы продукции}

^c_n+1 ^.

Целесообразность производства определяется прибылью от одной едини-

цы продукции:

_n+1

_n+1

_m

^∑ i ,n+1 i

∆ = c

− a

i=1

⋅ y ^* .

Если

∆_n+1 > 0 , то производство прибыльное,

∆_n+1 = 0

– безубыточное,

∆_n+1 < 0

– убыточное.

Пример 3. Пусть для исходной задачи ЛП из табл. 1 известно, что имеет-

^{ся возможность начать выпуск продукции}

^{P3 . Нормы расхода ресурсов на про-}

изводство одной единицы продукции составляют соответственно

^a₁₃ ^{= 0, 3 ;}

^a₂₃ ^{= 0, 3 ;}

^a₃₃ ^{= 0, 4 . Цена единицы продукции}

^c₃ ^{= 4, 7}

тыс. грн.

P₃ .

Требуется сделать выводы о целесообразности производства продукции

_{Решение. Целесообразность производства определяется размером при-}

были от одной единицы продукции:

*

₃

^{∆3 = c3}

^{− ∑}

ⁱ⁼¹

^ai3

^{⋅ yi = 4, 7 − (0, 3 ⋅ 4, 5 + 0, 3 ⋅11, 5 + 0, 4 ⋅ 0) = 4, 7 − 4,8 = −0,1 (тыс. грн).}

Т.к.

^∆₃ ^{< 0 , то производство убыточное. Производить продукцию}

^P₃ ^не

целесообразно. Пример 3 выполнен.

Двойственные оценки также используют как инструмент сопоставления условных затрат и результатов.

При изменении количества ресурсов в пределах интервалов устойчивости отдельное влияние i -го ресурса на величину дохода от реализации определяет-

_{ся, как}

_(∆Z

_{) = ∆b}

_{⋅ y} * _{. Если}

_(∆Z

_{) > 0 , то доход увеличится на}

_{(∆Z )}

max

i i i

max i

max i

денежных единиц, в противном случае – уменьшится.

_{Суммарное влияние изменений количества всех ресурсов вычисляется}

так:

_{JG JG*}

^{∆Zmax = ∆ B ⋅ Y}

_m

^{= ∑ (∆Zmax )i .}

ⁱ⁼¹

Рассмотрим возможность дополнительной закупки i -го ресурса в объёме

_{+ +}

^∆b_i

по цене

^p_i ^{за единицу ресурса. Затраты на приобретение составят}

^∆b_i

^{⋅ p}_i ^.

i i

Приращение дохода составит

^{∆b + ⋅ y * .}

_{Если приращение дохода превысит затраты на приобретение, т.е.}

i i i i

^{∆b + ⋅ y * − ∆b + ⋅ p}

^{> 0 , то закупка целесообразна. В противном случае – нет.}

По-другому,

_{∆b + ⋅ y * − ∆b + ⋅ p}

_{= ∆b + ( y * − p ) .}

i i i i i i i

i i

Знак данного выражения зависит от знака разности

^{( y * − p ) . Следовательно,}

y

i

если теневая цена

^* превышает цену

p_i , то закупка целесообразна.

Лекция 8. МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

_{1. Метод искусственного базиса.}

План

2. Пример решения задачи ЛП методом искусственного базиса.

_{1. При решении задач ЛП симплекс-методом предполагалось, что среди векто-}

_ров

_A1,

_{A2 ,...,}

_{A j ,..., An}

_{имеется m единичных векторов. Т.е. в каждом уравне-}

нии есть базисная переменная, которая входит лишь в одно уравнение с коэф-

фициентом 1, а в остальные – с коэффициентом 0.

Рассмотрим исходную задачу в каноническом виде:

^{Z = c1x1 + c2 x2 + ⋅⋅⋅ + cn xn → min;}

⎧^a₁₁ ^x₁ ^{+ a}₁₂ ^x₂ ^{+ ⋅⋅⋅ + a}_1n ^x_n ^{= b}₁ ^,

_⎨

_⎩ m1 1 m 2 2 mn n m

^{⎪.................................................,}

^{⎪a x + a x + ⋅ ⋅ ⋅ + a x = b ,}

(1)

^{x j ≥ 0 (j = 1,n).}

^{Составляем расширенную задачу формальным добавлением новых базис-}

ных (искусственных) переменных в уравнения, в которых их нет. В целевую функцию дописываем их с большим положительным числом M . Получим

_{расширенную задачу:}

^{Z ′ = c}₁^x₁

^{+ c}₂ ^x₂ ^{+ ⋅⋅⋅ + c}_n ^x_n ^{+ Мx}_n+1 ^{+ Мx}_n+2 ^{+ ⋅⋅⋅ + Мx}_n+m ^{→ min;}

_{⎧a11 x1 + a12 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n xn +}

_xn+1

_{= b1 ,}

_⎨

^⎪_{...................................................................................................,}

(2)

_⎩ ^{m1 1 m 2 2 mn n}

^{⎪a x + a x + ⋅⋅⋅ + a x}

^{+ x}_n+m ^{= b}_m ^,

^{x j ≥ 0 (j = 1,n + m), bi ≥ 0 (i = 1,m).}

^{Такой подход называют методом искусственного базиса. Ясно, что ис-}

кусственные переменные должны равняться нулю. Если среди них имеются не равные нулю, то исходная задача (1) несовместная. Или, по-другому, целевая

функция расширенной задачи (2) будет неограниченно расти с ростом M и не сможет достичь минимума. Если в оптимальном плане расширенной задачи ис- кусственные переменные равны нулю, то остальные переменные дают решение

исходной задачи, если же есть не равные нулю, то исходная задача несовмест- ная. Если же на некотором этапе, после выведения искусственных переменных из базиса, возникнет столбец с неположительными членами и положительной

_{оценкой для данного столбца, то}

_{Z → −∞ . Если в оптимальном плане есть сво-}

бодный вектор с нулевой оценкой, то оптимальный план не единственный.

2. Рассмотрим решение конкретной задачи ЛП с помощью метода искусствен-

ного базиса.

Пример 2. Решить задачу ЛП:

^{Z = x1 + 2 x2 + 2x3 → max;}

^{⎧− x1 + 2 x2 − x3 ≤ -1,}

_⎪

_⎨ ^x₁ ^{+ 2 x}₂

^{≤ 1,}

_⎩

^{⎪ x}₁ ^{+ 2 x}₂ ^{+ x}₃

^{= 3,}

^{x j ≥ 0 (j = 1,3).}

^{Решение. Переходим к канонической форме. Для этого делаем замену}

_Z^′ _{= −Z . В первое и второе ограничения дописываем балансовые переменные}

x₄ ,

x₅ и первое ограничение умножаем на (–1):

^{Z ′ = − x}₁ ^{− 2x}₂ ^{− 2x}₃ ^{+ 0x}₄ ^{+ 0x}₅ ^{→ min;}

^{⎧ x}1 ^{− 2 x}2 ^{+ x}3

^⎪

^{⎨ x}₁ ^{+ 2 x}₂

- x₄

_{+ x5}

^{= 1,}

^{= 1,}

_⎩ 1 2

^{⎪ x + 2x}

^{+ x}₃

^{= 3,}

^{x j ≥ 0 (j = 1,5).}

^{В первое и третье уравнение прибавляем, соответственно, искусственные}

переменные

^x₆ ^,

^x₇ ^{с коэффициентом равным единице. В целевую функцию их}

дописываем с коэффициентом M . Получили расширенную задачу:

^{Z ′′ = − x}₁ ^{− 2x}₂ ^{− 2x}₃ ^{+ 0x}₄ ^{+ 0x}₅ ^{+ Мx}₆ ^{+ Mx}₇ ^{→ min;}

^{⎧ x}1 ^{− 2 x}2 ^{+ x}3 ^{- x}4 ⁺

_⎪

[x₆ ]

^{= 1,}

_⎩ 1 2 3

^{⎨ x1 + 2x2 +}

^{⎪ x + 2 x + x +}

^[x₅ ^]

^{= 1,}

^{[x7 ] = 3,}

^{x j ≥ 0 (j = 1,7).}

^{Задачу решаем симплекс-методом (табл. 1).}

_{Табл. 1. Первая симплекс-таблица с комментариями}

Б1	С Б 1	В1	À1	À2	À3	À4	À5	À6	À7
			-1	-2	-2	0	0	М	М
À6	М	1	1	-2	[1]	-1	0	1	0
À5 À7	0 М	1 3	1 1	2 2	0 1	0 0	1 0	0 0	0 1
z j − c j		0 4	1 2	2 0	2 2	0 -1	0 0	0 0	0 0

^↓

^θ

^{← 1/1 -1 -2}

^⎯

^3/1

Имеем начальный опорный план

^{X Б}₁ ^{= (0,0,0,0,1,1,3)}

при

^{Z′′( X Б1 ) = −1⋅ 0 − 2⋅ 0 − 2⋅ 0 + 0⋅ 0 + 0⋅1+ М ⋅1+ М ⋅ 3 = 0 + 4М = 4М .}

_{⎛ a ⎞}

^{Числа в индексной строке имеют вид a + bM}

и их записывают в виде

b

^{⎜ ⎟ . Поэтому индексную строку записывают в двух уровнях. В (m + 1) -ю стро-}

^{⎝ ⎠}

^{ку вносят a, а в (m + 2) -ю строку записывают b . Знак числа a + bM}

_{⎛ 25 ⎞}

совпадает

_{⎛ 0 ⎞}

со знаком числа b , если

^{b ≠ 0 . Например,}

^{25 − 6M}

⁼ ⎜ ⎟ ^{< 0 ,}

^{⎝ −6 ⎠}

^{⎜ ⎟ > 0 ,}

^{⎝1 ⎠}

_{⎛ −6 ⎞}

_{⎛ 0 ⎞}

_{−6 + M}

_{= ⎜ ⎟ > 0 , ⎜ −1⎟ < 0 .}

_⎝ ¹ _{⎠ ⎝ ⎠}

Сначала направляющий столбец выбирают по нижней строке, а после превращения искусственных переменных в свободные оптимизация произво- дится по верхней индексной строке.

_{Покажем, как находится индексная строка:}

^{Z ′′}

^{( X ) = 1 ⋅ М + 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ М = 0 + 4М = ⎛ 0 ⎞ ,}

^{⎝ ⎠}

4

^Б₁ ⎜ ⎟

2

⎛¹ ⎞

z₁ − c₁ = 1 ⋅ M + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ M + 1 = 1 + 2M = _{⎜ ⎟} ^,

⎝ ⎠

^{z2 − c2 = −2 ⋅ M + 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ M + 2 = 2 + 0 ⋅ M}

⎛ ² ⎞

0

⁼ ⎜ ⎟ ^,

⎝ ⎠

2

⎛ ² ⎞

z₃ − c₃ = 1⋅ M + 0 ⋅ 0 + 1⋅ M + 2 = 2 + 2M

= _{⎜ ⎟} .

⎝ ⎠

Первый план не оптимален. В нижней индексной строке наибольшую

^{оценку имеют}

^{À1 и}

^{À3 , Выбираем}

^{À3 , т.к.}

^{⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞}

^{⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ .}

^{⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠}

Этот вектор вводим в базис.

_{⎨ ⎬}

_{Вычисляем симплексное отношение:}

^θ03

^{= min ⎧1 ,=3 ⎫ = 1.}

^{⎩1 1 ⎭}

_{Выводим из базиса вектор}

_{À6 . Составляем табл. 2.}

_{Табл. 2 не содержит комментариев, позволяющих перейти к табл. 3. Под-}

_{разумевается, что направляющая третья строка умножится на} ¹

²

и будет при-

_{бавлена к первой строке, на}

_{⎛ − =1 ⎞}

_{и прибавлена ко второй, на}

_{⎛ − =3 ⎞}

_{и прибав-}

_{⎜ 2 ⎟}

_{⎜ 2 ⎟}

_{⎝ ⎠ ⎝ ⎠}

^{лена к четвёртой, на} ₍ ⁻¹₎

и прибавлена к пятой. В конце сама направляющая

_{третья строка будет умножена на} ¹ _.

⁴

_θ

_{Табл. 2. Вторая симплекс-таблица с комментариями}

Б2	С	В2	А1	À2	À3	À4	À5	À6	À7
			-1	-2	-2	0	0	М	М
À3 À5	-2 0	1 1	1 1	-2 2	1 0	-1 0	0 1	1 0	0 0
À7	М	2	0	[4]	0	1	0	-1	1
z j − c j		-2 2	-1 0	6 4	0 0	2 1	0 0	-2 -2	0 0

^↓

Б

²

^⎯

^1/2

← _1/2

Далее совершаем итерации до тех пор, пока не получим отрицательные оценки в индексной строке. Все вычисления отражены в табл. 3 и табл. 4. Ком- ментарии к вычислениям не записаны (студентам проделать самостоятельно).

_{Табл. 3. Третья симплекс-таблица с комментариями}

Б3	С Б 3	В3	À1	À2	À3	À4	À5	À6	À7
			-1	-2	-2	0	0	М	М
À3 À5	-2 0	2 0	1 1	0 0	1 0	-1/2 -1/2	0 1	1/2 1/2	1/2 -1/2
À2	-2	1/2	0	1	0	[1/4]	0	-1/4	1/4
z j − c j		-5 0	-1 0	0 0	0 0	1/2 0	0 0	-1/2 -1	-3/2 -1

^↓

^θ

^⎯

^⎯

^{← 2}

_{Табл. 4. Четвёртая симплекс-таблица с комментариями}

Б4	С Б 4	В4	À1	À2	À3	À4	À5	À6	À7
			-1	-2	-2	0	0	М	М
À3 À5 À4	-2 0 0	3 1 2	1 1 0	2 2 4	1 0 0	0 0 1	0 1 0	0 0 -1	1 0 1
z j − c j		-6 0	-1 0	-2 0	0 0	0 0	0 0	0 -1	-2 -1

Делаем вывод о том, что

^X opt

⁼ (^{0;0;3;2;1;0;0}) ^,

^Z_m^′ _in ^{= −6 . Все искусствен-}

ные переменные равны нулю, поэтому начальные переменные определяют оп-

_{тимальный план.}

∗

Ответ:

^{Х = (0;0;3) ,}

^{Zmax = 6 .}