Лекция 5. Симплекс-метод решения задач линейной оптимизации

План

1. Пример решения задачи ЛП с помощью симплекс-метода.

2. Алгоритм симплекс-метода.

1. Рассмотрим решение конкретной задачи ЛП с помощью симплекс-метода.

Пример 1. Фирма выпускает два вида сухих строительных смесей по це-

не 4 тыс. грн. и 5 тыс. грн. за 1 т. Для производства используется три вида сы-

рья с запасами 15 т, 7 т, 12 т, соответственно. Изготовление тонны 1-й смеси требует 0,25 т сырья первого вида, 0,25 т сырья второго вида и 0,5 т сырья третьего вида. На производство тонны 2-й смеси требуется 0,6 т сырья первого вида, 0,2 т сырья второго вида и 0,2 т сырья третьего вида.

_{Табл. 1. Данные задачи}

Сырьё	Продукция (расходы сырья на про- изводство 1 т смеси)		Запасы сырья
	P1	P2
S1 S2 S3	0,25 т 0,25 т 0,5 т	0,6 т 0,2 т 0,2 т	15 т 7 т 12 т
Цена за 1 т продукции	4 тыс. грн.	5 тыс. грн.
Количество продукции, т	x1	x2

Найти план выпуска продукции, чтобы доход от её реализации был максималь-

_ный.

Решение. Пусть

^x₁ ^{количество выпуска продукции первого вида,}

^x₂ ^–

второго вида, Z – доход от реализации всей продукции. Математическая мо-

_{дель задачи имеет вид:}

^{Z = 4 x1 + 5x2 → max;}

^{⎧0, 25x1 + 0, 6x2 ≤ 15,}

^⎪

_⎩ 1 2

^{⎨0, 25x1 + 0, 2 x2 ≤ 7,}

^{⎪0, 5x + 0, 2 x ≤ 12;}

^x1 ^{≥ 0, x}2 ^{≥ 0.}

(1) (2)

(3)

Приведём задачу (1)-(3) к каноническому виду. При наличии ограниче- ния-неравенства прибавляем или вычитаем в левой части дополнительную (ба- лансовую) неотрицательную переменную, чтобы преобразовать его в равенство. Равенства оставляем без изменения. Если задача на минимум, то целевую функцию оставляем без изменения, если на максимум, то делаем замену

^{Z ′ = −Z . Кроме того, для применения симплекс метода нужно, чтобы правые}

^{части ограничений (2) были неотрицательными.}

_/

^{Z = −4x}₁ ^{− 5x}₂ ^{+ 0x}₃ ^{+ 0 x}₄ ^{+ 0x}₅ ^{→ min;}

(4)

^{⎧0, 25x1 + 0, 6x2 + x3}

_⎪

^{= 15,}

_⎨^{0, 25x}₁ ^{+ 0, 2 x}₂

^{+ x}₄

^{= 7,}

(5)

_⎩ 1

^{⎪0, 5x}

^{+ 0, 2x}₂

^{+ x}₅ ^{= 12;}

^{x j ≥ 0 ( j = 1, 5).}

^{Запишем систему ограничений (5) в векторном виде:}

(6)

где

^{x1⋅ A1 + x2 ⋅ A2 + x3 ⋅ A3 + x4 ⋅ A4 + x5 ⋅ A5 = B , (7)}

_⎛ ^{0, 25} _{⎞ ⎛} ^{0, 6} _{⎞ ⎛} ¹ _{⎞ ⎛} ⁰ _{⎞ ⎛} ⁰ _{⎞ ⎛}¹⁵ _⎞

_{A1 = ⎜ 0, 25 ⎟ ,}

_{A2 = ⎜ 0, 2 ⎟ ,}

_{A3 = ⎜ 0 ⎟ ,}

_{A4 = ⎜ 1 ⎟ ,}

_{A5 = ⎜ 0 ⎟ , B = ⎜ 7 ⎟ . (8)}

_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

_{⎜ 0, 5 ⎟ ⎜ 0, 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜12 ⎟}

^{⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠}

^{Равенство (7) является разложением вектора B по векторам}

_A1,

_{A2 ,}

_{A3 ,}

_{A4 ,}

_{A5 . Векторы (8) являются 3-х мерными. Поэтому базисом этой}

системы векторов являются единичные векторы

_{Запишем общее решение системы (5):}

^{Б1 = ( A3 ,}

^A4 ^,

^{A5 ) .}

^{⎧ x3 = 15 − 0, 25x1 − 0, 6x2 ,}

^⎪

_⎩ 5 1 2

^{⎨ x4 = 7 − 0, 25x1 − 0,2 x2 ,}

^{⎪ x = 12 − 0, 5x − 0, 2x .}

^{Чтобы получить базисное решение системы, свободные переменные при-}

равниваем к нулю:

^x₁ ^{= 0, x}₂ ^{= 0 . Вычисляем значения базисных переменных:}

^x₃ ^{= 15, x}₄ ^{= 7, x}₅ ^{= 12 . Базисное решение определяет начальный опорный план:}

/

^{X Б}₁ ^{= (0; 0;15; 7;12) , Z}

₍ ^{X Б}_{1 )} ^{= −4 ⋅ 0 − 5 ⋅ 0 + 0 ⋅15 + 0 ⋅ 7 + 0 ⋅12 = 0 .}

Симплексная таблица (табл. 2) составляется следующим образом. В пер- вой строке шапки симплекс-таблицы указаны векторы системы ограничений (5), а во второй – коэффициенты при переменных в целевой функции. В первом

столбце (столбец

Б₁ ^{) указаны векторы, образующие базис заданной системы}

векторов, а во втором столбце – коэффициенты целевой функции при базисных переменных. Во всех остальных клетках таблицы (кроме последней строки, о которой будет сказано ниже) стоят коэффициенты разложения соответствую- щих векторов по векторам базиса. Т.к. для нашей задачи выбран единичный ба-

зис, то в первой симплексной таблице в столбцах стоять координаты векторов (8).

^В1^,

^A1^,

^A2 ^,

^A3 ^,

^A4 ^{, A}5

будут

Табл. 2. Первая симплексная таблица

_С

Б1	Б	В1	À1	À2	À3	À4	А5
			–4	–5	0	0	0
À3	0	15	1 4	⎡ 3 ⎤ ⎢⎣ 5 ⎥⎦	1	0	0
À4	0	7	1 4	1 5	0	1	0
À5	0	12	1 2	1 5	0	0	1
z j − c j		0	4	5	0	0	0

1

Последняя строка называется индексной. В третьем столбце этой строки стоит значение целевой функции:

/

^Z ₍ ^{X Б}_{1 )} ^{= С Б}₁ ^{⋅ В}₁ ^{= 0 ⋅15 + 0 ⋅ 7 + 0 ⋅12 = 0 .}

^{В остальных кл}_J^е_G ^{тках индексной строки стоят оценки оптимальности}

^{z j − c j}

^{для векторов A}_j

^{( j = 1, 5 ):}

_JG

Например,

^{z j − c j = С Б1 ⋅ Aj − c j .}

JJG

_{z − c = С}

_{⋅ A − c}

_{= 0 ⋅} ¹ _{+ 0 ⋅} ¹ _{+ 0 ⋅} ¹ _{− (−4) = 4 .}

_{1 1} ^Б1 _{1 1}

_{4 4 2}

_{Воспользуемся теоремой 5 из предыдущей лекции. Проверяемый опор-}

ный план

^X Б₁ ⁼ ₍^{0; 0;15; 7;12}₎

не является оптимальным, т.к. в индексной строке

_{имеются положительные оценки для векторов}

_{À1 и}

_{А2 . Перейдём к новому}

опорному плану, выбрав новый базис. Базис не может содержать более трёх векторов. Поэтому введём в него один из свободных векторов, выведя один из базисных.

_{Вводить следует вектор с наибольшей положительной оценкой оптималь-}

ности. Это будет вектор

^А2 ^{, для которого}

^z₂ ^{− c}₂ ^{= 5 . Число 5 означает, что если}

переменную

^x₂ ^{увеличить на единицу, то целевая функция уменьшится на 5}

^{единиц и приблизится к минимуму. Столбец с вводимым в базис вектором А}2

_{называют направляющим и выделяем жирной линией и стрелкой.}

Может оказаться, что несколько векторов имеют наибольшую положи-

тельную оценку оптимальности. Тогда выбирают любой из них.

Для определения вектора, выводящегося из базиса, вычисляют наимень-

_{шее симплексное отношение}

_b

_{θ0 j =}

^min _⎨ ⁱ _⎬^,

0

_{i = 1, m , (9)}

^{aij >}

^{ai j}

где j – номер вектора, вводимого в базис. Рассматривают только положитель-

ные симплексные отношения. Нулевые, отрицательные и неопределённые

_{(дробь со знаменателем ноль) отношения не рассматриваются.}

_{В данном случае}

_{j = 2 , поэтому}

_{b ⎧ 3 1 1 ⎫}

_{θ02 =}

_min ⁱ _{= min ⎨15 : ; 7 : ;12 :}

_{⎬ = min{25;35; 60} = 25 .}

^ai 2 ^{>0 a}_{i 2}

^{⎩ 5 5 5 ⎭}

_{Симплексные отношения означают возможные объёмы производства}

продукции

^P₂ ^{из имеющихся запасов сырья. Наименьшее симплексное отноше-}

_{ние означает максимально возможный выпуск этой продукции. Действительно,}

запасы сырья

^S₁ ^{позволяют изготовить не более 25 единиц продукции}

^P₂ ^{, в то}

время как сырьё 2-го вида – 35 единиц, а 3-го – 60 единиц.

_{Наименьшее симплексное отношение соответствует вектору}

_{А3 , значит,}

этот вектор будет выведен из базиса. Он расположен в т.н. направляющей строке, которую выделим жирной линией и стрелкой. На пересечении направ- ляющей строки и направляющего столбца находится разрешающий элемент

_{a =} ³ _{, выделяемый квадратными скобками (табл. 3).}

^{12 5}

Новый базис

^Б₂ ⁼ ₍ ^{A3 ,}

^A2 ^,

^A5 ₎

обуславливает необходимость пересчёта

симплексной таблицы. Элементы направляющего столбца (за исключением разрешающего) должны быть преобразованы в нули, а сам разрешающий эле- мент должен стать единицей.

Рекомендуем воспользоваться двумя элементарными преобразования-

ми Гаусса: 1) направляющую строку умножаем на подходящее число и при-

бавляем к другой строке; 2) направляющую строку делим на разрешающий элемент. Необходимые пояснения помещены в табл. 3.

_{Табл. 3. Первая симплексная таблица с полными комментариями}

Б1	С 1 Б	В1	À1	À2	À3	À4	А5
			–4	–5	0	0	0
À3	0	15	1 4	⎡ =3 ⎤ ⎢ ⎥	1	0	0
À4	0	7	1 4	1 5	0	1	0
À5	0	12	1 2	1 5	0	0	1
z j − c j		0	4	5	0	0	0

^↓

^θ

_{×⎛ − =1 ⎞ ×⎛ − =25 ⎞ × 5}

_{← 25}

_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

^{⎣ 5 ⎦}

^{⎝ 3 ⎠ ⎝}

³⁵

^{3 ⎠ 3}

₆₀

Например, чтобы получить 0 на месте элемента

^a₂₂ ^{= 1/ 5 , умножим на-}

правляющую строку на (–1/3) и прибавим ко второй строке. Получим:

^{–5 − 1}

₊ ¹²

^{− 1 − 1}

^{5 3}

0 0 направл. строка, умноженная на (–1/3)

₇ ^{1 1} _{0 1 0 вторая строка}

4 ⁵

2 ¹ 0 ^{− 1} 1 0 результат сложения

^{6 3}

Результаты вычислений поместим в табл. 4.

_{Табл. 4. Вторая симплексная таблица}

Б2	С Б2	В2	À1	À2	À3	À4	А5
			–4	–5	0	0	0
À2	–5	25	5 12	1	5 3	0	0
À4	0	2	⎡ 1 ⎤ ⎢	0	1 − 3	1	0
À5	0	7	5 12	0	1 − 3	0	1
z j − c j		–125	23 12	0	25 − 3	0	0

Получили второй опорный план

^{X Б}₂

^{= (0; 25; 0; 2; 7) . Значение целевой}

/

функции:

^Z ₍ ^{X Б}_{2 )} ^{= −125 .}

В индексной строке есть положительная оценка оптимальности

₂₃

^{z1 − c1 =} ₁₂ ^{. Следовательно, опорный план X Б}2

не является оптимальным. Не-

_{обходим переход к новому опорному плану. Положительная оценка оптималь-}

_{ности единственная и, значит, наибольшая. Ей соответствует вектор}

_{À1 , кото-}

_{рый будем вводить в базис. Рассчитав наименьшее симплексное отношение,}

_{получим, что вектор}

_{À4 следует выводить из базиса. Отмечаем направляющие}

строку и столбец, разрешающий элемент, вносим пояснения (табл. 5).

После расчётов и преобразований получим табл. 6.

Табл. 5. Вторая симплексная таблица с полными комментариями

_↓

_θ

60

_{×⎛ − =5 ⎞ ×⎛ − =23 ⎞ ×6}

_{← 12}

_{⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟}

₁₆ ⁴

⁵

^{⎝ ⎠ ⎝ ⎠}

Табл. 6. Третья симплексная таблица

Б2	С Б2	В2	À1	À2	À3	À4	А5
			–4	–5	0	0	0
À2	–5	25	5 12	1	5 3	0	0
À4	0	2	⎡ =1 ⎤ ⎢	0	1 − 3	1	0
À5	0	7	5 12	0	1 − 3	0	1
z j − c j		–125	23 12	0	25 − 3	0	0

_С

Б3	Б	В3	À1	À2	À3	À4	А5
			–4	–5	0	0	0
À2	–5	20	0	1	2,5	–2,5	0
À1	–4	12	1	0	–2	6	0
À5	0	2	0	0	0,5	–2,5	1
z j − c j		–148	0	0	–4,5	–11,5	0

3

Третий опорный план

^{X Б}₃

^{= (12; 20; 0; 0; 2)}

является оптимальным, т.к.

среди оценок оптимальности

^z _j ^{− c} _j

нет положительных чисел. Значение целе-

вой функции:

^Z_min ^{= −148 .}

_{Полученный оптимальный план является единственным, потому что сво-}

_{бодные векторы}

_{À3 и}

_{À4 имеют отрицательные оценки оптимальности}

^z₁ ^{− c}₁ ^{= −4, 5 и}

^z₂ ^{− c}₂ ^{= −11, 5 , соответственно.}

Если хотя бы одни из свободных векторов имеет нулевую оценку опти- мальности, то существует ещё как минимум один оптимальный план. Для его нахождения надо попытаться ввести данный вектор в базис, а вывести вектор с наименьшим положительным симплексным отношением. Общее решение зада- чи ЛП запишется как выпуклая линейная комбинация оптимальных планов.

_{Задача (4)-(6) решена. Возвращаемся к исходной задаче ЛП (1)-(3). Опти-}

1

2

мальный план выпуска продукции

^{x * = 12}

т. и

^{x * = 20}

т., при котором доход от

_{реализации будет максимальным и составит}

_JJG*

^{Zmax = 148 тыс. грн.}

Ответ:

^{X = (12; 20) ,}

^Z_max ^{= 148 .}

2. Приведём алгоритм симплексного метода и замечания к нему:

1) Задачу ЛП записываем в каноническом виде.

2) Находим опорное решение (в каждом уравнении должна быть пере-

менная с коэффициентом единица, которая входит только в одно уравнение).

_{3) Составляем симплексную таблицу. Проверяем знаки оценок оптималь-}

ности

^z _j ^{− c} _j ^{. Если все}

^z _j ^{− c} _j ^{≤ 0 , то оптимальное решение найдено и опреде-}

лён минимум Z . Если же имеются

^z _j ^{− c} _j

^{> 0 , то вектор с наибольшей положи-}

тельной оценкой оптимальности вводят в базис. Из базиса выводят вектор с наименьшим положительным симплексным отношением. Составляем новую симплексную таблицу с помощью элементарных преобразований Гаусса.

4) В новой симплексной таблице снова проверяем знаки чисел в индекс-

ной строке. Преобразования продолжаем до тех пор, пока не получим в индекс-

ной строке все числа равные нулю или меньше нуля.

5) Записываем оптимальный план и минимальное значение целевой функции для задачи ЛП в каноническом виде.

6) Возвращаемся к исходной задаче ЛП. Записываем оптимальный план и оптимальное значение целевой функции.

_{Замечание 1. Если в оптимальном плане свободный вектор}

_{À j имеет ну-}

_{левую оценку оптимальности и среди его координат есть положительные числа,}

то оптимальный план не единственный. Вводя в базис вектор одно оптимальное опорное решение.

^À j ^{, найдем ещё}

_{Замечание 2. Если на некотором этапе решения возникнет j -й столбец с}

членами

^a_i^′_j ^{≤ 0}

и оценкой оптимальности

^z _j ^{− c} _j

^{> 0 , то}

^{Z → −∞ .}

Домашнее задание. Заводской цех выпускает 4 вида деталей, для произ- водства которых использует сырьё, материалы и комплектующие изделия. Для выпуска деталей 1-го вида требуется 2 ед. сырья и 2 ед. комплектующих, 2-го вида – 2 ед. сырья, 1 ед. материалов и 1 ед. комплектующих, 3-го вида – 4 ед. сырья и 2 ед. материалов, 4-го вида – 5 ед. сырья, 2 ед. материалов и 6 ед. ком- плектующих. Производственные запасы имеются в количестве 28 ед. сырья, 10 ед. материалов и 14 ед. комплектующих изделий. Прибыль цеха от продажи од- ной детали 1-го вида составляет 2 тыс. грн., 2-го вида – 4 тыс. грн., 3-го вида – 6 тыс. грн. и 4-го вида – 1 тыс. грн. Необходимо спланировать выпуск продукции таким образом, чтобы прибыль от реализации выпущенных деталей была наи- большей.

_{Ответ: Оптимальные планы}

^JJG_*

_X1

_{= (4; 6; 2;0)}

^JJJG_*

_{и X 2}

_{= (2;10; 0; 0) ,}

_{Zmax = 44}

тыс. грн. Общее оптимальное решение

JG_*

^X

_JJG*

^{= λ X}₁

_{J JG*}

^{+ (1 − λ ) X} ₂

_{, 0 ≤ λ ≤ 1 .}

_{Общее оптимальное решение можно записать подробнее:}

_JJG*

^{X = (4λ;6λ; 2λ;0) + (2 − 2λ;10 − 10λ; 0; 0) =} ₍ ^{2 + 2λ;10 − 4λ ; 2λ;0}₎ ^.

По смыслу задачи, количество деталей – неделимая величина. Значит,

среди всех оптимальных планов подходят только целочисленные решения:

1) (4; 6; 2; 0) , 2) (2;10; 0; 0) , 3) (3;8;1; 0) .

Лекция 6. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

_{1. Двойственные задачи ЛП.}

План

2. Теоремы двойственности. Анализ дефицитности ресурсов и продукции.

1. В предыдущей лекции был рассмотрен пример 1 о производстве сухих строи-

_{тельных смесей. Была составлена математическая модель задачи ЛП:}

^{Z = 4 x1 + 5x2 → max;}

^{⎧0, 25x1 + 0, 6x2 ≤ 15,}

^⎪

_⎩ 1 2

^{⎨0, 25x1 + 0, 2 x2 ≤ 7,}

^{⎪0, 5x + 0, 2 x ≤ 12;}

^{x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.}

^{Пусть имеют место другие экономические условия:}

^{• фирма купила сырьё;}

^{• постоянный покупатель строительных смесей разорился;}

^{• быстро организовать сбыт смесей затруднительно;}

^{• другая фирма согласна купить сырьё.}

(1) (2) (3)

Необходимо договориться о таких ценах на сырьё, которые бы устраива-

_{ли обе стороны.}

Обозначим цену в тыс. грн. за 1 т для сырья трёх видов через

^y₁ ^,

^y₂ ^,

^y₃ ^.

Для изготовления 1-й смеси используют разное сырьё в объёмах 0,25 т, 0,25 т и

0,5 т, соответственно. Поэтому фирму-продавца устраивает соотношение

^{0, 25 y1 + 0, 25 y2 + 0, 5 y3 ≥ 4 ,}

^{т.е. суммарная оплата компонент 1-й смеси будет не менее 4 тыс. грн. за тонну.}

Аналогично определим второе ограничение

^{0, 6 y1 + 0, 2 y2 + 0, 2 y3 ≥ 5 .}

^{Фирма-покупатель стремится уменьшить расходы на приобретение сы-}

рья. Значит, необходимо обеспечить минимум для целевой функции

^{F = 15 y1 + 7 y2 + 12 y3 .}

^{Математическая модель новой задачи ЛП:}

^{F = 15 y1 + 7 y2 + 12 y3 → min;}

^{⎧0, 25 y1 + 0, 25 y2 + 0, 5 y3 ≥ 4,}

^⎨

^{⎩0, 6 y1 + 0, 2 y2 + 0, 2 y3 ≥ 5;}

^y1 ^{≥ 0, y}2 ^{≥ 0, y}3 ^{≥ 0.}

(4) (5)

(6)

Имея решение исходной задачи симплекс-методом, можно определить оптимальный план двойственной задачи.

_{Объясним на примере 1 предыдущей лекции. Базисными векторами в пер-}

вой симплексной таблице были

^{Б1 = ( A3 ,}

^A4 ^,

^{A5 ) . Эти вектора в последней}

симплексной таблице имеют оценки оптимальности

^z _j ^{− c} _j ^{: –4,5; –11,5; 0. Взяв}

эти оценки с противоположным знаком и вычитая из них соответствующие ко- эффициенты целевой функции, получим оптимальный план двойственной зада- чи:

y

y

y

1

2

3

^{* = −(−4, 5) − 0 = 4, 5 ;}

^{* = −(−11, 5) − 0 = 11, 5 ;}

^{* = −0 − 0 = 0 .}

Задачи (1)-(3) и (4)-(6) называют симметричной парой двойственных задач ЛП. Их структуры имеют однозначную связь (табл. 1).

_{Табл. 1. Симметричная пара для примера о строительных смесях}

Исходная задача	Двойственная задача
Z = 4x1 + 5x2 → max; ⎧0, 25x1 + 0, 6x2 ≤ 15, ⎪ ⎨0, 25x1 + 0, 2x2 ≤ 7, ⎪0, 5x1 + 0, 2x2 ≤ 12; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	F = 15 y1 + 7 y2 + 12 y3 → min; ⎧0, 25 y1 + 0, 25 y2 + 0, 5 y3 ≥ 4, ⎨ ⎩0, 6 y1 + 0, 2 y2 + 0, 2 y3 ≥ 5; y ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ 0.
JJG* X = (12; 20) , Zmax = 148 .	JG* Y = (4,5;11, 5; 0) , Fmin = 148 .

⎩ _{1 2 3}

Видно, что фирма-продавец получает одинаковый доход 148 тыс. грн. в обеих ситуациях. Фирма-покупатель получает сырьё в полном объёме.

Данные исходной задачи транспонированы в двойственной задаче, т.е.

числовые данные исходной задачи, записанные строками, стали столбцами в двойственной задаче. Сопоставим их в табл. 2.

_{Табл. 2. Свойства двойственных задач для примера о строительных смесях}

Исходная задача	Двойственная задача
1) на максимум; 2) две переменных; 3) три ограничения; 4) знаки ограничений ≤ .	1) на минимум; 2) два ограничения; 3) три переменных; 4) знаки ограничений ≥ .

Рассмотрим в качестве исходной задачу ЛП самого общего вида. Среди ограничений встречаются как неравенства, так и равенства. Часть переменных произвольного знака.

Если исходная задача на максимум, то двойственная – на минимум. Ис- ходная имеет n неизвестных, двойственная n ограничений. Исходная задача содержит m ограничений, двойственная – m неизвестных. Коэффициенты це-

_{левой функции исходной задачи становятся правыми частями ограничений}

^{двойственной задачи, и наоборот. Исходная задача имеет среди ограничений m}₁

неравенств и

^{m − m}₁

равенств, двойственная –

^m₁ ^{неотрицательных переменных}

^{и m − m1}

переменных произвольного знака. Исходная задача имеет

n₁ неотрица-

тельных переменных и

^{n − n}₁

переменных произвольного знака, двойственная

имеет среди ограничений

ⁿ₁ ^{неравенств и}

^{n − n}₁

равенств (табл. 3).

_{Табл. 3. Симметричная пара в общем виде}

Исходная задача	Двойственная задача
n Z = ∑ c j x j → max , j =1 ⎧ n ⎪∑ aij x j ≤ bi , i = 1, m1 , m1 ≤ m, ⎪ j =1 ⎨ n ⎪∑ aij x j = bi , i = m1 + 1, m, ⎩ j =1 x j ≥ 0, j = 1, n1 , n1 ≤ n , x j произвольного знака при j = n1 + 1, n .	m F = ∑bi yi → min , i=1 ⎧ m ⎪∑ aij yi ≥ c j , j = 1, n1 , n1 ≤ n, ⎪ i=1 ⎨ m ⎪∑ aij yi = c j , j = n1 + 1, n, ⎪ ⎩ i=1 yi ≥ 0, i = 1, m1 , m1 ≤ m , yi произвольного знака при i = m1 + 1, m .

_⎪

Пример 1. Дана задача линейного программирования:

^{Z = 3x1 + 3x2 → min}

_⎪

^{⎧ x1 − 2 x2 ≥ −6}

^{⎪4x1 + 6x2 ≤ 24}

^⎨

^{⎪ x1 + x2 ≥ −4}

^{⎪⎩ x1 ≤ 2}

^{x1 ≥ 0 .}

^{Требуется: составить математическую модель двойственной задачи.}

Решение. Т.к. исходная задача на минимум, то желательно, чтобы все не-

_{равенства в системе ограничений были записаны со знаком « ≥ »:}

^{⎧ x1}

⎪

^{− 2x2 ≥ −6}

_⎪−4 x₁ − 6x₂ ≥ −24

⎨

_⎪ x₁

^⎪_⎩− x₁

+ x₂ ≥ −4

≥ −2

Сопоставим данные (см. табл. 2).

Табл. 4. Свойства двойственных задач для примера 1

Исходная задача	Двойственная задача
1) на минимум; 2) две переменных; 3) четыре ограничения; 4) знаки ограничений ≥ .	1) на максимум; 2) два ограничения; 3) четыре переменных; 4) знаки ограничений ≤ .

Добавим к табл. 4 существенный нюанс. Переменная

^x₁ ^{≥ 0 , поэтому пер-}

_{вое ограничение двойственной задачи будет неравенством со знаком « ≤ ». Пе-}

ременная

^x₂ ^{– произвольного знака, поэтому второе ограничение двойственной}

задачи будет равенством. Т.к. все ограничения исходной задачи являются нера-

венствами, то все переменные двойственной задачи будут неотрицательными.

*

Окончательный вид двойственной задачи:

^{F = −6 y1 − 24 y2 − 4 y3 − 2 y4 → max}

^{⎧ y1 − 4 y2 + y3 − y4 ≤ 3}

_⎨

^{⎩−2 y1 − 6 y2 + y3 = 3}

^y1 ^{≥ 0, y}2 ^{≥ 0 .}

2. Сформулируем теоремы двойственности.

Первая теорема двойственности. Если одна из задач двойственной пары имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причём экстремальные значения целевых функций совпадают:

_{n m}

*

^∑

^{j =1}

^{c j x j =}

^∑

2

ⁱ⁼¹

b_i y_i .

Если же целевая функция одной из задач не ограничена, то ОДР другой задачи пустая.

1

3

Удостоверимся на примере из табл. 1. Исходная задача:

_*

^{x * = 12 т;}

^{x2 = 20}

т.;

1

^Z_max

_{= 4 ⋅ 12 + 5 ⋅ 20 = 148 тыс. грн.}

_грн.;

Двойственная задача:

^{y * = 4, 5}

тыс. грн.;

^{y * = 11,5}

тыс. грн.;

^{y * = 0}

тыс.

Т.е

^Z_max

^{Fmin = 15 ⋅ 4, 5 + 7 ⋅ 11, 5 + 12 ⋅ 0 = 148 тыс. грн.}

^{= F}min ^{. Первая теорема двойственности выполняется.}

_{Вторая теорема двойственности. Если в оптимальном плане исходной}

j

задачи какая-то переменная

^{x * > 0}

^{( j = 1, n ), то j -е ограничение двойственной}

задачи её оптимальным решением обращается в строгое равенство. Если опти-

_{мальное решение исходной задачи обращает какое-то i -е ( i = 1, m ) ограничение}

i

в строгое равенство, то в оптимальном решении двойственной задачи

^{y * > 0 .}

Удостоверимся на примере из табл. 1. Рассмотрим выполнение первого утверждения второй теоремы двойственности.

1

1

Т.к.

^{x * = 12}

(т.е.

^{x * > 0 ), то первое ограничение двойственной задачи}

^{0, 25 y1 + 0, 25 y2 + 0, 5 y3 ≥ 4}

JG_*

должно обращаться её оптимальным решением

Y = (4, 5;11, 5; 0)

в строгое равенство.

Действительно,

^{0, 25 ⋅ 4, 5 + 0, 25 ⋅ 11, 5 + 0, 5 ⋅ 0 = 4 .}

2

2

Т.к.

^{x * = 20}

(т.е.

^{x * > 0 ), то второе ограничение двойственной задачи}

^{0, 6 y1 + 0, 2 y2 + 0, 2 y3 ≥ 5}

JG_*

должно обращаться её оптимальным решением

Y = (4, 5;11, 5; 0)

в строгое равенство.

Действительно,

_{0, 6 ⋅ 4, 5 + 0, 2 ⋅ 11, 5 + 0, 2 ⋅ 0 = 5 .}

Первое утверждение второй теоремы двойственности выполнилось.

_{Проверим выполнение второго утверждения теоремы.}

_JG*

Оптимальное решение исходной задачи

X = (12; 20)

обращает первое ог-

раничение

^{0, 25x}₁ ^{+ 0, 6x}₂ ^{≤ 15}

^{в строгое равенство: 0, 25 ⋅ 12 + 0, 6 ⋅ 20 = 15 . По-}

_этому

_y * _{> 0 ( y} * _{= 4, 5 ).}

_{1 1}

_JG*

Оптимальное решение исходной задачи

X = (12; 20)

обращает второе ог-

раничение

^{0, 25x}₁ ^{+ 0, 2x}₂ ^{≤ 7}

^{в строгое равенство: 0, 25 ⋅ 12 + 0, 2 ⋅ 20 = 7 . Поэто-}

2

2

^{му y * > 0}

^{( y * = 11, 5 ).}

_JG*

Оптимальное решение исходной задачи

X = (12; 20)

не обращает третье

ограничение

^{0, 5x}₁ ^{+ 0, 2x}₂ ^{≤ 12}

^{в строгое равенство: 0, 5 ⋅12 + 0, 2 ⋅ 20 = 10 . Полу-}

3

^{чили: 10 < 12 . Поэтому}

^{y * = 0 .}

Оба утверждения второй теоремы двойственности выполнились для при-

_{мера из табл. 1.}

y

i

Из второй теоремы двойственности следует, что

^{* ( i = 1, m ) являются}

y

i

показателями дефицитности ресурсов и продукции. Величину

_{двойственной оценкой или теневой ценой i -го ресурса.}

^* называют

i

_JJG*

Если

^{y * > 0 , то ресурс дефицитный и при реализации оптимального пла-}

на X

расходуется полностью. Т.е. i -е ограничение исходной задачи обратится

в строгое равенство.

_{Приобретение дополнительной единицы этого ресурса приведёт к увели-}

i

чению дохода от реализации Z на величину

y ^* . Чем больше значение теневой

i

цены, тем дефицитнее ресурс. Для недефицитного ресурса

^{y * = 0 .}

1

2

3

Для примера из табл. 1:

^{y * = 4, 5}

тыс. грн.,

^{y * = 11,5}

тыс. грн.,

^{y * = 0}

тыс. грн. Значит ресурсы цитный.

S₁ ,

S₂ являются дефицитными, а ресурс

S₃ – не дефи-