- •Содержание
- •Введение
- •Лекция 1. Вводные понятия математического программирования
- •Лекция 2. Геометрическая интерпретация решения задач линейного программирования
- •Лекция 3. Практическая реализация графического метода решения задач линейного программирования
- •Лекция 4. Теоретическое обоснование симплекс- метода
- •Лекция 5. Симплекс-метод решения задач линейной оптимизации
- •Лекция 7. Экономико-математический анализ решения задач линейного программирования
- •Лекция 9. Транспортная задача
- •Лекция 10. Нахождение оптимального решения транспортной задачи
- •1. Для решения транспортной задачи удобно использовать метод потенциалов.
- •Лекция 12. Метод множителей лагранжа
- •Заключение
- •Приложение а. Инвестиционные задачи и нелинейное программирование
- •Лекция 14. Оптимальный портфель ценных бумаг
- •Лекция 15. Практические способы формирования оптимальных фондовых портфелей
- •Приложение б. Теория игр и задачи линейного про- граммирования Лекция 16. Экономические риски и теория игр
- •Литература
Лекция 5. Симплекс-метод решения задач линейной оптимизации
План
1. Пример решения задачи ЛП с помощью симплекс-метода.
2. Алгоритм симплекс-метода.
1. Рассмотрим решение конкретной задачи ЛП с помощью симплекс-метода.
Пример 1. Фирма выпускает два вида сухих строительных смесей по це-
не 4 тыс. грн. и 5 тыс. грн. за 1 т. Для производства используется три вида сы-
рья с запасами 15 т, 7 т, 12 т, соответственно. Изготовление тонны 1-й смеси требует 0,25 т сырья первого вида, 0,25 т сырья второго вида и 0,5 т сырья третьего вида. На производство тонны 2-й смеси требуется 0,6 т сырья первого вида, 0,2 т сырья второго вида и 0,2 т сырья третьего вида.
Табл. 1. Данные задачи
-
Сырьё
Продукция (расходы сырья на про-
изводство 1 т смеси)
Запасы сырья
P1
P2
S1
S2
S3
0,25 т
0,25 т
0,5 т
0,6 т
0,2 т
0,2 т
15 т
7 т
12 т
Цена за 1 т
продукции
4 тыс. грн.
5 тыс. грн.
Количество
продукции, т
x1
x2
Найти план выпуска продукции, чтобы доход от её реализации был максималь-
ный.
Решение. Пусть
x1 количество выпуска продукции первого вида,
x2 –
второго вида, Z – доход от реализации всей продукции. Математическая мо-
дель задачи имеет вид:
Z = 4 x1 + 5x2 → max;
⎧0, 25x1 + 0, 6x2 ≤ 15,
⎪
⎩ 1
2
⎪0, 5x + 0, 2 x ≤ 12;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
(1) (2)
(3)
Приведём задачу (1)-(3) к каноническому виду. При наличии ограниче- ния-неравенства прибавляем или вычитаем в левой части дополнительную (ба- лансовую) неотрицательную переменную, чтобы преобразовать его в равенство. Равенства оставляем без изменения. Если задача на минимум, то целевую функцию оставляем без изменения, если на максимум, то делаем замену
Z ′ = −Z . Кроме того, для применения симплекс метода нужно, чтобы правые
части ограничений (2) были неотрицательными.
/
Z = −4x1 − 5x2 + 0x3 + 0 x4 + 0x5 → min;
(4)
⎧0, 25x1 + 0, 6x2 + x3
⎪
= 15,
⎨0, 25x1 + 0, 2 x2
+ x4
= 7,
(5)
⎩ 1
+ 0, 2x2
+ x5 = 12;
x j ≥ 0 ( j = 1, 5).
Запишем систему ограничений (5) в векторном виде:
(6)
где
x1⋅ A1 + x2 ⋅ A2 + x3 ⋅ A3 + x4 ⋅ A4 + x5 ⋅ A5 = B , (7)
⎛ 0, 25 ⎞ ⎛ 0, 6 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛15 ⎞
A1 = ⎜ 0, 25 ⎟ ,
A2 = ⎜ 0, 2 ⎟ ,
A3 = ⎜ 0 ⎟ ,
A4 = ⎜ 1 ⎟ ,
A5 = ⎜ 0 ⎟ , B = ⎜ 7 ⎟ . (8)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0, 5 ⎟ ⎜ 0, 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜12 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Равенство (7) является разложением вектора B по векторам
A1,
A2 ,
A3 ,
A4 ,
A5 . Векторы (8) являются 3-х мерными. Поэтому базисом этой
системы векторов являются единичные векторы
Запишем общее решение системы (5):
Б1 = ( A3 ,
A4 ,
A5 ) .
⎧ x3 = 15 − 0, 25x1 − 0, 6x2 ,
⎪
⎩
5
1
2
⎪ x = 12 − 0, 5x − 0, 2x .
Чтобы получить базисное решение системы, свободные переменные при-
равниваем к нулю:
x1 = 0, x2 = 0 . Вычисляем значения базисных переменных:
x3 = 15, x4 = 7, x5 = 12 . Базисное решение определяет начальный опорный план:
/
( X Б1 ) = −4 ⋅ 0 − 5 ⋅ 0 + 0 ⋅15 + 0 ⋅ 7 + 0 ⋅12 = 0 .
Симплексная таблица (табл. 2) составляется следующим образом. В пер- вой строке шапки симплекс-таблицы указаны векторы системы ограничений (5), а во второй – коэффициенты при переменных в целевой функции. В первом
столбце (столбец
Б1 ) указаны векторы, образующие базис заданной системы
векторов, а во втором столбце – коэффициенты целевой функции при базисных переменных. Во всех остальных клетках таблицы (кроме последней строки, о которой будет сказано ниже) стоят коэффициенты разложения соответствую- щих векторов по векторам базиса. Т.к. для нашей задачи выбран единичный ба-
зис, то в первой симплексной таблице в столбцах стоять координаты векторов (8).
В1,
A1,
A2 ,
A3 ,
A4 , A5
будут
Табл. 2. Первая симплексная таблица
С
Б1
Б
В1
À1
À2
À3
À4
А5
–4
–5
0
0
0
À3
0
15
1
4
⎡ 3
⎤
⎢⎣
5
⎥⎦
1
0
0
À4
0
7
1
4
1
5
0
1
0
À5
0
12
1
2
1
5
0
0
1
z
j
−
c
j
0
4
5
0
0
0
Последняя строка называется индексной. В третьем столбце этой строки стоит значение целевой функции:
/
В остальных клJеG тках индексной строки стоят оценки оптимальности
z j − c j
для векторов Aj
( j = 1, 5 ):
JG
Например,
z j − c j = С Б1 ⋅ Aj − c j .
JJG
z − c = С
⋅ A − c
= 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 − (−4) = 4 .
1 1 Б1 1 1
4 4 2
Воспользуемся теоремой 5 из предыдущей лекции. Проверяемый опор-
ный план
X Б1 = (0; 0;15; 7;12)
не является оптимальным, т.к. в индексной строке
имеются положительные оценки для векторов
À1 и
А2 . Перейдём к новому
опорному плану, выбрав новый базис. Базис не может содержать более трёх векторов. Поэтому введём в него один из свободных векторов, выведя один из базисных.
Вводить следует вектор с наибольшей положительной оценкой оптималь-
ности. Это будет вектор
А2 , для которого
z2 − c2 = 5 . Число 5 означает, что если
переменную
x2 увеличить на единицу, то целевая функция уменьшится на 5
единиц и приблизится к минимуму. Столбец с вводимым в базис вектором А2
называют направляющим и выделяем жирной линией и стрелкой.
Может оказаться, что несколько векторов имеют наибольшую положи-
тельную оценку оптимальности. Тогда выбирают любой из них.
Для определения вектора, выводящегося из базиса, вычисляют наимень-
шее симплексное отношение
b
θ0 j =
min ⎨ i ⎬,
0
i = 1, m , (9)
aij >
ai j
где j – номер вектора, вводимого в базис. Рассматривают только положитель-
ные симплексные отношения. Нулевые, отрицательные и неопределённые
(дробь со знаменателем ноль) отношения не рассматриваются.
В данном случае
j = 2 , поэтому
b ⎧ 3 1 1 ⎫
θ02 =
min i = min ⎨15 : ; 7 : ;12 :
⎬ = min{25;35; 60} = 25 .
ai 2 >0 ai 2
⎩ 5 5 5 ⎭
Симплексные отношения означают возможные объёмы производства
продукции
P2 из имеющихся запасов сырья. Наименьшее симплексное отноше-
ние означает максимально возможный выпуск этой продукции. Действительно,
запасы сырья
S1 позволяют изготовить не более 25 единиц продукции
P2 , в то
время как сырьё 2-го вида – 35 единиц, а 3-го – 60 единиц.
Наименьшее симплексное отношение соответствует вектору
А3 , значит,
этот вектор будет выведен из базиса. Он расположен в т.н. направляющей строке, которую выделим жирной линией и стрелкой. На пересечении направ- ляющей строки и направляющего столбца находится разрешающий элемент
a = 3 , выделяемый квадратными скобками (табл. 3).
12 5
Новый базис
Б2 = ( A3 ,
A2 ,
A5 )
обуславливает необходимость пересчёта
симплексной таблицы. Элементы направляющего столбца (за исключением разрешающего) должны быть преобразованы в нули, а сам разрешающий эле- мент должен стать единицей.
Рекомендуем воспользоваться двумя элементарными преобразования-
ми Гаусса: 1) направляющую строку умножаем на подходящее число и при-
бавляем к другой строке; 2) направляющую строку делим на разрешающий элемент. Необходимые пояснения помещены в табл. 3.
Табл. 3. Первая симплексная таблица с полными комментариями
Б1
С
1
Б
В1
À1
À2
À3
À4
А5
–4
–5
0
0
0
À3
0
15
1
4
⎡ =3
⎤
⎢
⎥
1
0
0
À4
0
7
1
4
1
5
0
1
0
À5
0
12
1
2
1
5
0
0
1
z
j
−
c
j
0
4
5
0
0
0
θ
×⎛ − =1 ⎞ ×⎛ − =25 ⎞ × 5
← 25
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎣ 5 ⎦
⎝ 3 ⎠ ⎝
35
3 ⎠ 3
60
Например, чтобы получить 0 на месте элемента
a22 = 1/ 5 , умножим на-
правляющую строку на (–1/3) и прибавим ко второй строке. Получим:
–5 − 1
+ 12
− 1 − 1
5 3
0 0 направл. строка, умноженная на (–1/3)
7 1 1 0 1 0 вторая строка
4 5
2 1 0 − 1 1 0 результат сложения
6 3
Результаты вычислений поместим в табл. 4.
Табл. 4. Вторая симплексная таблица
-
Б2
С Б2
В2
À1
À2
À3
À4
А5
–4
–5
0
0
0
À2
–5
25
5
12
1
5
3
0
0
À4
0
2
⎡ 1 ⎤
⎢
0
1
− 3
1
0
À5
0
7
5
12
0
1
−
3
0
1
z j − c j
–125
23
12
0
25
−
3
0
0
Получили второй опорный план
X Б2
= (0; 25; 0; 2; 7) . Значение целевой
/
Z ( X Б2 ) = −125 .
В индексной строке есть положительная оценка оптимальности
23
z1 − c1 = 12 . Следовательно, опорный план X Б2
не является оптимальным. Не-
обходим переход к новому опорному плану. Положительная оценка оптималь-
ности единственная и, значит, наибольшая. Ей соответствует вектор
À1 , кото-
рый будем вводить в базис. Рассчитав наименьшее симплексное отношение,
получим, что вектор
À4 следует выводить из базиса. Отмечаем направляющие
строку и столбец, разрешающий элемент, вносим пояснения (табл. 5).
После расчётов и преобразований получим табл. 6.
Табл. 5. Вторая симплексная таблица с полными комментариями
↓
θ
60
×⎛ − =5 ⎞ ×⎛ − =23 ⎞ ×6
← 12
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
16 4
5
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Табл. 6. Третья симплексная таблица
Б2
С
Б2
В2
À1
À2
À3
À4
А5
–4
–5
0
0
0
À2
–5
25
5
12
1
5
3
0
0
À4
0
2
⎡ =1
⎤
⎢
0
1
− 3
1
0
À5
0
7
5
12
0
1
−
3
0
1
z
j
−
c
j
–125
23
12
0
25
−
3
0
0
Б3
Б
В3
À1
À2
À3
À4
А5
–4
–5
0
0
0
À2
–5
20
0
1
2,5
–2,5
0
À1
–4
12
1
0
–2
6
0
À5
0
2
0
0
0,5
–2,5
1
z
j
−
c
j
–148
0
0
–4,5
–11,5
0
Третий опорный план
X Б3
= (12; 20; 0; 0; 2)
является оптимальным, т.к.
среди оценок оптимальности
z j − c j
нет положительных чисел. Значение целе-
вой функции:
Zmin = −148 .
Полученный оптимальный план является единственным, потому что сво-
бодные векторы
À3 и
À4 имеют отрицательные оценки оптимальности
z1 − c1 = −4, 5 и
z2 − c2 = −11, 5 , соответственно.
Если хотя бы одни из свободных векторов имеет нулевую оценку опти- мальности, то существует ещё как минимум один оптимальный план. Для его нахождения надо попытаться ввести данный вектор в базис, а вывести вектор с наименьшим положительным симплексным отношением. Общее решение зада- чи ЛП запишется как выпуклая линейная комбинация оптимальных планов.
Задача (4)-(6) решена. Возвращаемся к исходной задаче ЛП (1)-(3). Опти-
1
2
x * = 12
т. и
x * = 20
т., при котором доход от
реализации будет максимальным и составит
JJG*
Zmax = 148 тыс. грн.
Ответ:
X = (12; 20) ,
Zmax = 148 .
2. Приведём алгоритм симплексного метода и замечания к нему:
1) Задачу ЛП записываем в каноническом виде.
2) Находим опорное решение (в каждом уравнении должна быть пере-
менная с коэффициентом единица, которая входит только в одно уравнение).
3) Составляем симплексную таблицу. Проверяем знаки оценок оптималь-
ности
z j − c j . Если все
z j − c j ≤ 0 , то оптимальное решение найдено и опреде-
лён минимум Z . Если же имеются
z j − c j
> 0 , то вектор с наибольшей положи-
тельной оценкой оптимальности вводят в базис. Из базиса выводят вектор с наименьшим положительным симплексным отношением. Составляем новую симплексную таблицу с помощью элементарных преобразований Гаусса.
4) В новой симплексной таблице снова проверяем знаки чисел в индекс-
ной строке. Преобразования продолжаем до тех пор, пока не получим в индекс-
ной строке все числа равные нулю или меньше нуля.
5) Записываем оптимальный план и минимальное значение целевой функции для задачи ЛП в каноническом виде.
6) Возвращаемся к исходной задаче ЛП. Записываем оптимальный план и оптимальное значение целевой функции.
Замечание 1. Если в оптимальном плане свободный вектор
À j имеет ну-
левую оценку оптимальности и среди его координат есть положительные числа,
то оптимальный план не единственный. Вводя в базис вектор одно оптимальное опорное решение.
À j , найдем ещё
Замечание 2. Если на некотором этапе решения возникнет j -й столбец с
членами
ai′j ≤ 0
и оценкой оптимальности
z j − c j
> 0 , то
Z → −∞ .
Домашнее задание. Заводской цех выпускает 4 вида деталей, для произ- водства которых использует сырьё, материалы и комплектующие изделия. Для выпуска деталей 1-го вида требуется 2 ед. сырья и 2 ед. комплектующих, 2-го вида – 2 ед. сырья, 1 ед. материалов и 1 ед. комплектующих, 3-го вида – 4 ед. сырья и 2 ед. материалов, 4-го вида – 5 ед. сырья, 2 ед. материалов и 6 ед. ком- плектующих. Производственные запасы имеются в количестве 28 ед. сырья, 10 ед. материалов и 14 ед. комплектующих изделий. Прибыль цеха от продажи од- ной детали 1-го вида составляет 2 тыс. грн., 2-го вида – 4 тыс. грн., 3-го вида – 6 тыс. грн. и 4-го вида – 1 тыс. грн. Необходимо спланировать выпуск продукции таким образом, чтобы прибыль от реализации выпущенных деталей была наи- большей.
Ответ: Оптимальные планы
JJG*
X1
= (4; 6; 2;0)
JJJG*
и X 2
= (2;10; 0; 0) ,
Zmax = 44
тыс. грн. Общее оптимальное решение
JG*
X
JJG*
= λ X1
J JG*
+ (1 − λ ) X 2
, 0 ≤ λ ≤ 1 .
Общее оптимальное решение можно записать подробнее:
JJG*
X = (4λ;6λ; 2λ;0) + (2 − 2λ;10 − 10λ; 0; 0) = ( 2 + 2λ;10 − 4λ ; 2λ;0) .
По смыслу задачи, количество деталей – неделимая величина. Значит,
среди всех оптимальных планов подходят только целочисленные решения:
1) (4; 6; 2; 0) , 2) (2;10; 0; 0) , 3) (3;8;1; 0) .
Лекция 6. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
1. Двойственные задачи ЛП.
План
2. Теоремы двойственности. Анализ дефицитности ресурсов и продукции.
1. В предыдущей лекции был рассмотрен пример 1 о производстве сухих строи-
тельных смесей. Была составлена математическая модель задачи ЛП:
Z = 4 x1 + 5x2 → max;
⎧0, 25x1 + 0, 6x2 ≤ 15,
⎪
⎩ 1
2
⎪0, 5x + 0, 2 x ≤ 12;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Пусть имеют место другие экономические условия:
• фирма купила сырьё;
• постоянный покупатель строительных смесей разорился;
• быстро организовать сбыт смесей затруднительно;
• другая фирма согласна купить сырьё.
(1) (2) (3)
Необходимо договориться о таких ценах на сырьё, которые бы устраива-
ли обе стороны.
Обозначим цену в тыс. грн. за 1 т для сырья трёх видов через
y1 ,
y2 ,
y3 .
Для изготовления 1-й смеси используют разное сырьё в объёмах 0,25 т, 0,25 т и
0,5 т, соответственно. Поэтому фирму-продавца устраивает соотношение
0, 25 y1 + 0, 25 y2 + 0, 5 y3 ≥ 4 ,
т.е. суммарная оплата компонент 1-й смеси будет не менее 4 тыс. грн. за тонну.
Аналогично определим второе ограничение
0, 6 y1 + 0, 2 y2 + 0, 2 y3 ≥ 5 .
Фирма-покупатель стремится уменьшить расходы на приобретение сы-
рья. Значит, необходимо обеспечить минимум для целевой функции
F = 15 y1 + 7 y2 + 12 y3 .
Математическая модель новой задачи ЛП:
F = 15 y1 + 7 y2 + 12 y3 → min;
⎧0, 25 y1 + 0, 25 y2 + 0, 5 y3 ≥ 4,
⎨
⎩0, 6 y1 + 0, 2 y2 + 0, 2 y3 ≥ 5;
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
(4) (5)
(6)
Имея решение исходной задачи симплекс-методом, можно определить оптимальный план двойственной задачи.
Объясним на примере 1 предыдущей лекции. Базисными векторами в пер-
вой симплексной таблице были
Б1 = ( A3 ,
A4 ,
A5 ) . Эти вектора в последней
симплексной таблице имеют оценки оптимальности
z j − c j : –4,5; –11,5; 0. Взяв
эти оценки с противоположным знаком и вычитая из них соответствующие ко- эффициенты целевой функции, получим оптимальный план двойственной зада- чи:
y
y
y
1
2
3
* = −(−11, 5) − 0 = 11, 5 ;
* = −0 − 0 = 0 .
Задачи (1)-(3) и (4)-(6) называют симметричной парой двойственных задач ЛП. Их структуры имеют однозначную связь (табл. 1).
Табл. 1. Симметричная пара для примера о строительных смесях
Исходная
задача
Двойственная
задача
Z
=
4x1
+
5x2
→
max;
⎧0,
25x1
+
0,
6x2
≤
15,
⎪
⎨0,
25x1
+
0,
2x2
≤
7,
⎪0,
5x1
+
0,
2x2
≤
12;
x1
≥
0,
x2
≥
0.
F
=
15
y1
+
7
y2
+
12
y3
→
min;
⎧0,
25
y1
+
0,
25
y2
+
0,
5
y3
≥
4,
⎨
⎩0,
6
y1
+
0,
2
y2
+
0,
2
y3
≥
5;
y
≥
0,
y
≥
0,
y
≥
0.
JJG*
X =
(12;
20)
,
Zmax
=
148
.
JG*
Y =
(4,5;11,
5;
0)
,
Fmin
=
148
.
Видно, что фирма-продавец получает одинаковый доход 148 тыс. грн. в обеих ситуациях. Фирма-покупатель получает сырьё в полном объёме.
Данные исходной задачи транспонированы в двойственной задаче, т.е.
числовые данные исходной задачи, записанные строками, стали столбцами в двойственной задаче. Сопоставим их в табл. 2.
Табл. 2. Свойства двойственных задач для примера о строительных смесях
-
Исходная задача
Двойственная задача
1) на максимум;
2) две переменных;
3) три ограничения;
4) знаки ограничений ≤ .
1) на минимум;
2) два ограничения;
3) три переменных;
4) знаки ограничений ≥ .
Рассмотрим в качестве исходной задачу ЛП самого общего вида. Среди ограничений встречаются как неравенства, так и равенства. Часть переменных произвольного знака.
Если исходная задача на максимум, то двойственная – на минимум. Ис- ходная имеет n неизвестных, двойственная n ограничений. Исходная задача содержит m ограничений, двойственная – m неизвестных. Коэффициенты це-
левой функции исходной задачи становятся правыми частями ограничений
двойственной задачи, и наоборот. Исходная задача имеет среди ограничений m1
неравенств и
m − m1
равенств, двойственная –
m1 неотрицательных переменных
и m − m1
переменных произвольного знака. Исходная задача имеет
n1 неотрица-
тельных переменных и
n − n1
переменных произвольного знака, двойственная
имеет среди ограничений
n1 неравенств и
n − n1
равенств (табл. 3).
Табл. 3. Симметричная пара в общем виде
Исходная
задача
Двойственная
задача
n
Z
=
∑
c
j
x
j
→
max
,
j
=1
⎧
n
⎪∑
aij
x
j
≤
bi
,
i
=
1,
m1
,
m1
≤
m,
⎪ j
=1
⎨
n
⎪∑
aij
x
j
=
bi
,
i
=
m1
+
1,
m,
⎩ j
=1
x
j
≥
0,
j
=
1,
n1
,
n1
≤
n
,
x
j
произвольного
знака
при
j
=
n1
+
1,
n
.
m
F
=
∑bi
yi
→
min
,
i=1
⎧ m
⎪∑
aij
yi
≥
c
j
,
j
=
1,
n1
,
n1
≤
n,
⎪ i=1
⎨ m
⎪∑
aij
yi
=
c
j
,
j
=
n1
+
1,
n,
⎪
⎩ i=1
yi
≥
0,
i
=
1,
m1
,
m1
≤
m
,
yi
произвольного
знака
при
i
=
m1
+
1,
m
.
Пример 1. Дана задача линейного программирования:
Z = 3x1 + 3x2 → min
⎪
⎪4x1 + 6x2 ≤ 24
⎨
⎪ x1 + x2 ≥ −4
⎪⎩ x1 ≤ 2
x1 ≥ 0 .
Требуется: составить математическую модель двойственной задачи.
Решение. Т.к. исходная задача на минимум, то желательно, чтобы все не-
равенства в системе ограничений были записаны со знаком « ≥ »:
⎧ x1
⎪
− 2x2 ≥ −6
⎪−4 x1 − 6x2 ≥ −24
⎨
⎪ x1
⎪⎩− x1
+ x2 ≥ −4
≥ −2
Сопоставим данные (см. табл. 2).
Табл. 4. Свойства двойственных задач для примера 1
-
Исходная задача
Двойственная задача
1) на минимум;
2) две переменных;
3) четыре ограничения;
4) знаки ограничений ≥ .
1) на максимум;
2) два ограничения;
3) четыре переменных;
4) знаки ограничений ≤ .
Добавим к табл. 4 существенный нюанс. Переменная
x1 ≥ 0 , поэтому пер-
вое ограничение двойственной задачи будет неравенством со знаком « ≤ ». Пе-
ременная
x2 – произвольного знака, поэтому второе ограничение двойственной
задачи будет равенством. Т.к. все ограничения исходной задачи являются нера-
венствами, то все переменные двойственной задачи будут неотрицательными.
*
F = −6 y1 − 24 y2 − 4 y3 − 2 y4 → max
⎧ y1 − 4 y2 + y3 − y4 ≤ 3
⎨
⎩−2 y1 − 6 y2 + y3 = 3
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 .
2. Сформулируем теоремы двойственности.
Первая теорема двойственности. Если одна из задач двойственной пары имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причём экстремальные значения целевых функций совпадают:
n m
*
j =1
c j x j =
∑
2
bi yi .
Если же целевая функция одной из задач не ограничена, то ОДР другой задачи пустая.
1
3
*
x * = 12 т;
x2 = 20
т.;
1
= 4 ⋅ 12 + 5 ⋅ 20 = 148 тыс. грн.
грн.;
Двойственная задача:
y * = 4, 5
тыс. грн.;
y * = 11,5
тыс. грн.;
y * = 0
тыс.
Т.е
Zmax
Fmin = 15 ⋅ 4, 5 + 7 ⋅ 11, 5 + 12 ⋅ 0 = 148 тыс. грн.
= Fmin . Первая теорема двойственности выполняется.
Вторая теорема двойственности. Если в оптимальном плане исходной
j
x * > 0
( j = 1, n ), то j -е ограничение двойственной
задачи её оптимальным решением обращается в строгое равенство. Если опти-
мальное решение исходной задачи обращает какое-то i -е ( i = 1, m ) ограничение
i
y * > 0 .
Удостоверимся на примере из табл. 1. Рассмотрим выполнение первого утверждения второй теоремы двойственности.
1
1
x * = 12
(т.е.
x * > 0 ), то первое ограничение двойственной задачи
0, 25 y1 + 0, 25 y2 + 0, 5 y3 ≥ 4
JG*
должно обращаться её оптимальным решением
Y = (4, 5;11, 5; 0)
в строгое равенство.
Действительно,
0, 25 ⋅ 4, 5 + 0, 25 ⋅ 11, 5 + 0, 5 ⋅ 0 = 4 .
2
2
x * = 20
(т.е.
x * > 0 ), то второе ограничение двойственной задачи
0, 6 y1 + 0, 2 y2 + 0, 2 y3 ≥ 5
JG*
должно обращаться её оптимальным решением
Y = (4, 5;11, 5; 0)
в строгое равенство.
Действительно,
0, 6 ⋅ 4, 5 + 0, 2 ⋅ 11, 5 + 0, 2 ⋅ 0 = 5 .
Первое утверждение второй теоремы двойственности выполнилось.
Проверим выполнение второго утверждения теоремы.
JG*
Оптимальное решение исходной задачи
X = (12; 20)
обращает первое ог-
раничение
0, 25x1 + 0, 6x2 ≤ 15
в строгое равенство: 0, 25 ⋅ 12 + 0, 6 ⋅ 20 = 15 . По-
этому
y * > 0 ( y * = 4, 5 ).
1 1
JG*
Оптимальное решение исходной задачи
X = (12; 20)
обращает второе ог-
раничение
0, 25x1 + 0, 2x2 ≤ 7
в строгое равенство: 0, 25 ⋅ 12 + 0, 2 ⋅ 20 = 7 . Поэто-
2
2
( y * = 11, 5 ).
JG*
Оптимальное решение исходной задачи
X = (12; 20)
не обращает третье
ограничение
0, 5x1 + 0, 2x2 ≤ 12
в строгое равенство: 0, 5 ⋅12 + 0, 2 ⋅ 20 = 10 . Полу-
3
y * = 0 .
Оба утверждения второй теоремы двойственности выполнились для при-
мера из табл. 1.
y
i
* ( i = 1, m ) являются
y
i
двойственной оценкой или теневой ценой i -го ресурса.
* называют
i
Если
y * > 0 , то ресурс дефицитный и при реализации оптимального пла-
на X
расходуется полностью. Т.е. i -е ограничение исходной задачи обратится
в строгое равенство.
Приобретение дополнительной единицы этого ресурса приведёт к увели-
i
y * . Чем больше значение теневой
i
y * = 0 .
1
2
3
y * = 4, 5
тыс. грн.,
y * = 11,5
тыс. грн.,
y * = 0
тыс. грн. Значит ресурсы цитный.
S1 ,
S2 являются дефицитными, а ресурс
S3 – не дефи-