- •Содержание
- •Введение
- •Лекция 1. Вводные понятия математического программирования
- •Лекция 2. Геометрическая интерпретация решения задач линейного программирования
- •Лекция 3. Практическая реализация графического метода решения задач линейного программирования
- •Лекция 4. Теоретическое обоснование симплекс- метода
- •Лекция 5. Симплекс-метод решения задач линейной оптимизации
- •Лекция 7. Экономико-математический анализ решения задач линейного программирования
- •Лекция 9. Транспортная задача
- •Лекция 10. Нахождение оптимального решения транспортной задачи
- •1. Для решения транспортной задачи удобно использовать метод потенциалов.
- •Лекция 12. Метод множителей лагранжа
- •Заключение
- •Приложение а. Инвестиционные задачи и нелинейное программирование
- •Лекция 14. Оптимальный портфель ценных бумаг
- •Лекция 15. Практические способы формирования оптимальных фондовых портфелей
- •Приложение б. Теория игр и задачи линейного про- граммирования Лекция 16. Экономические риски и теория игр
- •Литература
Лекция 14. Оптимальный портфель ценных бумаг
План
1. Модель Марковица формирования оптимального фондового портфеля.
2. Нахождение оптимальной структуры фондового портфеля методом множи-
телей Лагранжа.
1. Предположим, что в фондовый портфель отобраны n «перспективных» акти-
вов.
Согласно рассматриваемой модели главная информация заключена в век-
торе-столбце ожидаемых эффективностей m и в матрице ковариаций V :
⎛ m1 ⎞
⎛ V11
V12
...
V1n ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
m = ⎜ m2 ⎟ , V
= ⎜V21
V22
...
V2 n ⎟ .
⎜ ... ⎟
⎜ ⎟
⎜ ... ... ... ... ⎟
⎜ ⎟
⎝ mn ⎠
⎝Vn1
Vn 2
...
Vnn ⎠
Обычно придерживаются определённой нумерации. Например, располагают mi
в порядке возрастания. Матрица ковариаций симметрична относительно глав-
ной диагонали.
Пусть
xi ( i = 1, n ) – доля капитала инвестора, вложенная в i -й вид ценных
бумаг. Следовательно,
n
∑ xi = 1 . (1)
i =1
Структуру портфеля ценных бумаг удобно записывать вектором-
столбцом:
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
x = ⎜ x2 ⎟ .
⎜ ... ⎟
⎜ ⎟
⎝ xn ⎠
Введём вектор-столбец I , состоящий из единиц. Тогда условие (1) может быть
записано, как
I T x = 1.
Рассмотрим эффективность фондового портфеля
Rp , которая является
случайной величиной. Её числовой характеристикой является ожидаемая эф-
фективность
или в матричном виде
n
mp = ∑ xi mi
i =1
T
Характеристикой риска является дисперсия эффективности фондового
портфеля
n n
Dp = ∑∑ xi x jVij
или
i =1
j =1
T
Dp = x Vx .
Задача формирования рисковой части оптимального портфеля ставится
следующим образом. При заданной эффективности mp
найти такую структуру
x , которая обеспечивала бы минимум функции
Dp , т.е. минимальный риск
портфеля. Такая модель была впервые предложена Марковицем в 1951 г. Мо-
дель Марковица записывается в следующем виде:
n n
Dp = ∑∑ xi x jVij → min , (2)
i =1
⎧ n
j =1
⎪∑ xi mi = mp
⎪ i=1
(3)
n
⎪
⎨
⎩ i=1
Иногда налагают условие не отрицательности:
xi ≥ 0
( i = 1, n ). (4)
В матричном виде задача (2)-(4) выглядит следующим образом:
p
p
⎨
(6)
I T x = 1
x ≥ 0 . (7)
2. Задача (5)-(7) является задачей квадратичного программирования. Задачу (5)-
(6) можно решить методом множителей Лагранжа, а затем учесть условие (7).
Составим функцию Лагранжа:
1
2
1
2
p
Это задача на условный экстремум. Согласно необходимому условию экстре-
мума, получим:
=
−
2Vx + λ I + λ m = 0 , Vx
1 λ I − 1 λ m ,
=−
x 1 λ V −1 I − 1 λ V −1m .
2 1 2 2
Ограничения задачи (6) примут линейный вид относительно
⎧λ mT V −1 I + λ mT V −1m = −2m
λ1 ,
λ2 :
⎪ 1 2 p
⎨
⎪λ I T V −1 I + λ
I T V −1m = −2
⎩ 1 2
Введя дополнительные обозначения
def
def
mT V −1 I = I T V −1m = A ,
def
mT V −1m = B ,
I T V −1 I
= C , получим систему:
⎧λ1 A + λ2 B = −2mp
⎨
2
Решим её методом Крамера:
λ = ∆1 =
1 ∆
−2mp A + 2B ,
A2 − BC
∆
λ2 = ∆
= −2 A + 2mp C .
A2 − BC
Найденные значения множителей Лагранжа подставим в выражение для оптимальной структуры:
x* 1
−2mp A + 2B
V −1 I
1 −2 A + 2mp C
V −1m
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
2 A2 − BC
2 A2 − BC
p
+ (− IB + mA)
⋅ 1 .
A2 − BC
Для решения задачи (5)-(7) составляют расширенную матрицу:
⎛ 2V11
2V12
... 2V1n
m1 1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 2V21
2V22
... 2V2 n m2 1 ⎟
Z = ⎜ ⎟ .
⎜ 2Vn1
2Vn 2
... 2Vnn mn 1 ⎟
⎜ m1
m2 ... mn
0 0 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 1 ... 1 0 0 ⎠
Её размерность (n + 2) × (n + 2) .
Оптимальная структура рисковой части фондового портфеля
x* линей-
но зависит от mp
и записывается в виде
x* (m
p ) = amp
+ b ,
где a и b – матрицы размерности
n × 1 . Для нахождения их компонент находят
матрицу, обратную матрице Z , т.е.
⎛… … … … a1
b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜… … … … a2
b2 ⎟
⎜… … … … … …⎟
Z −1 = ⎜ ⎟
⎜… … … … an
bn ⎟
⎜… … … … … …⎟
⎜ ⎟
⎝… … … … … …⎠
Запишем функцию оптимального риска фондового портфеля
σ * (m ) =
cm 2 + dm
+ e ,
где
c = aT Va ,
d = 2aT Vb ,
p p p p
e = bT Vb .