Лекция 3. Практическая реализация графического метода решения задач линейного программирования

План

1. Пример графического решения задачи ЛП.

2. Задачи ЛП, сводящиеся к графическому методу решения.

3. Решение задач линейного целочисленного программирования графическим методом.

1. Рассмотрим графическое решение конкретной задачи ЛП.

Пример 1. Решить графически задачу ЛП:

^{Z = 4x}₁ ^{+ 2x}₂ ^{→ max ,}

_⎪

^{⎧ − x1}

^{⎪ 2 x1}

_⎨

^{+ 3x2 ≤ 9}

^{+ 3x2 ≤ 18}

_⎪ ^{−2 x}1 ^{+ x}2 ^{≥ −10}

^{2 x}₁ ^{− x}₂ ^{≥ 0}

^{x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .}

^{Решение. Для нахождения ОДР строим граничные прямые и определяем}

_{полуплоскости, координаты точек которых удовлетворяют ограничениям.}

Рассмотрим первое ограничение

^{− x}₁ ^{+ 3x}₂ ^{≤ 9 . Строим прямую}

^l₁ ^:

^{− x}₁ ^{+ 3x}₂ ^{= 9}

по двум точкам

^x₁ ^{= 0 ,}

^x₂ ^{= 3 и}

^x₁ ^{= −9 ,}

^x₂ ^{= 0 . Берём контроль-}

_{ную точку, не лежащую на этой прямой, например,}

_{O(0; 0) . Подставляем её ко-}

ординаты в первое ограничение. Если неравенство в этой точке выполняется, то первое ограничение определяет полуплоскость, которая содержит контрольную точку, если же нет, то оно определяет полуплоскость, в которой не лежит кон-

_{трольная точка. В точке}

_{O(0; 0)}

_{неравенство выполняется:}

_{−0 + 3 ⋅ 0 = 0 < 9 . По-}

этому первое ограничение определяет полуплоскость, расположенную ниже прямой l₁ . На рис. 1 это отмечено двумя стрелками.

Аналогично поступаем с остальными тремя ограничениями. Результаты вычислений запишем в табл. 1.

Табл. 1. Вспомогательные расчёты

Пря- мая	Уравнение прямой	Точки на прямых	Кон- троль- ная точка	Знак нера- венства в этой точке	Принадлеж- ность кон- трольной точки к ОДР
l1 l2 l3 l4	− x1 + 3x2 = 9 2x1 + 3x2 = 18 −2 x1 + x2 = −10 2x1 − x2 = 0	(0,3) (–9,0) (0,6) (9,0) (0,–10) (5,0) (0,0) (1,2)	О(0,0) О(0,0) О(0,0) М(0,5)	–0+3⋅0 <9 2⋅0+3⋅0 <18 –2⋅0+0 >–10 2⋅0–5<0	О принадлежит О принадлежит О принадлежит М не принадл.

_{Выделяем ОДР – пятиугольник OABCD. Строим вектор}

_G

c = (4, 2) , пока-

_{зывающий направление наибольшего возрастания функции Z . Строим изоцель}

– прямую, перпендикулярную вектору c :

^4x₁ ^{+ 2x}₂ ^{= 0 .}

Т.к. мы ищем максимум целевой функции, то изоцель следует переме-

_{щать параллельными переносами в направлении вектора c , пока она не станет}

опорной к ОДР (рис. 1). Это произойдёт в точке

_{точки C :}

C ( x₁; x₂ ) . Находим координаты

_{⎧l2 , ⇒}

_{⎧2 x1 + 3x2 = 18, ⇒}

_{⎧ x1 = 6,}

_{⎨ ⎨ ⎨}

_⎩^l₃ ^,

_⎩^{2 x}₁ ⁻

^x₂ ^{= 10,}

_⎩ ^x₂ ^{= 2.}

^l₂ ^x₂ ^l₄ ^l₃

А

B

_l1 c

C(6,2)

^x₁

_{0 D}

_{Рис. 1. Иллюстрация графического метода}

Найдено единственное оптимальное решение

_{чение целевой функции:}

^{X * = (6; 2) . Вычисляем зна-}

Ответ:

_{X * = (6; 2) ,}

^Zmax

^Z_max

^{= Z ( X *) = 4 ⋅ 6 + 2 ⋅ 2 = 28 .}

^{= 28 .}

_{Заметим, что в точке}

_{O(0; 0)}

_{достигается минимум целевой функции, рав-}

ный

^Z_min

^{= 0 .}

_{2. Мы научились применять графический метод для задач ЛП, которые содер-}

жат две переменные

^x₁ ^и

^x₂ ^.

На самом деле, некоторые задачи ЛП, размерность которых превышает 2, можно свести к задаче двух переменных. Остальные переменные при этом должны быть исключены.

Пример 2. Решить задачу ЛП:

^{Z = −16x1 − x2 + x3 + 5x4 + 5x5 → max ,}

⎨ _{1 2}

^{⎧2x1 + x2 + x3}

^{⎪−2x + 3x}

_{+ x4}

^{= 10}

^{= 6}

_⎩ 1 2

^{⎪2x + 4x}

^{− x}₅ ^{= 8}

^x _j ^{≥ 0 ( j = 1, 5 ).}

Решение. Выразим неизвестные

^x₃ ^{, x}₄ ^{, x}₅

из первого, второго и третьего

равенств системы ограничений соответственно:

^{⎧ x3 = 10 − 2x1 − x2}

^⎪

_⎩ 5 1 2

^{⎨ x4 = 6 + 2x1 − 3x2}

^{⎪ x = −8 + 2x + 4 x}

^{Исключаем данные неизвестные из целевой функции:}

_/

(1)

^{Z = −16x}₁ ^{− x}₂ ^{+ (10 − 2x}₁ ^{− x}₂ ^{) + 5(6 + 2x}₁ ^{− 3x}₂ ^{) + 5(−8 + 2x}₁ ^{+ 4x}₂ ^{) = 2x}₁ ^{+ 3x}₂ ^.

Т.к. все переменные задачи – неотрицательные, то предыдущую систему ра-

_{венств запишем в виде системы неравенств:}

^{⎧10 − 2 x1 − x2 ≥ 0}

^⎪

^{⎨6 + 2 x}₁ ^{− 3x}₂ ^{≥ 0}

^{⎧2x1 + x2 ≤ 10}

⎨ _{1 2}

^{⎪−2x + 3x ≤ 6}

_{⎪−8 + 2x + 4x ≥ 0}

_⎪2x

_{+ 4x ≥ 8}

^⎩

^{Получена задача ЛП:}

^{⎩ 1 2}

1 2

/

^{Z = 2x1 + 3x2 → max ,}

⎨ _{1 2}

^{⎧2x1 + x2 ≤ 10}

_⎩ 1 2

^{⎪−2x + 3x ≤ 6}

^{⎪2x + 4x ≥ 8}

^x1 ^{≥ 0, x}2 ^{≥ 0 .}

Решим её графическим методом.

Для данной задачи ОДР – заштрихованный четырёхугольник ABCD (рис.

2). Уравнение изоцели следующее:

^{2x1 + 3x2 = 0 .}

^Дви_G^{гая изоцель параллельными переносами в направлении градиент-}

вектора

^{c = (2, 3) , достигнем опорной точки}

^{C ( x}₁ ^{; x}₂ ^{) . Эта точка находится на}

пересечении прямых I и II:

^{⎧2 x1 + x2 = 10}

_{⎩ 1 2}

^{⎨−2x + 3x = 6}

_⎧ ^x₁ ^{= 3}

= 4

^⎨

^{⎩ x2}

/

При этом

^Z _max

^{= 18 .}

Осуществим обратную замену, подставив координаты точки систему (1):

C (3; 4) в

^{⎧ x3 = 0}

^⎪

_⎩ 5

^{⎨ x4 = 0}

^{⎪ x = 14}

Рис. 2. Графическое решение примера 2

Получено единственное оптимальное решение исходной задачи ЛП

_{X * = (3; 4; 0; 0;14) . Подставив его в целевую функцию, убедимся в том, что}

^Z_max

^{= Z ( X *) = −16 ⋅ 3 − 4 + 0 + 5 ⋅ 0 + 5 ⋅ 14 = 18 .}

Ответ:

^{X * = (3; 4; 0; 0;14) ,}

^Z_max

^{= 18 .}

3. Рассмотрим возможности графического метода при решении задач линейно-

го целочисленного программирования.

_{Пример 3. Дана задача:}

^{Z = 2x}₁ ^{+ 3x}₂ ^{→ max ,}

^{⎧ x}1

_⎨

^{+ 2 x2 ≤ 6}

_⎩ ^8x₁

^{+ 7 x}₂ ^{≤ 28}

^{x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ,}

^{x1 , x2 ∈ ] .}

^{Требуется: 1) решить графическим методом задачу ЛП без учёта целочисленно-}

сти; 2) решить ту же задачу с условием целочисленности.

_{Решение. 1) Для задачи ЛП имеем ОДР – четырёхугольник OABC , с уг-}

ловыми точками

O(0; 0) ,

A(0;3) ,

B(14 / 9; 20 / 9) ,

C(7 / 2; 0) . Наибольшее значе-

_{ние целевой функции достигается в точке B , поэтому имеем оптимальное ре-}

шение

^{X = (14 / 9; 20 / 9) ,}

^{Z ( X ) = 88 / 9 = 9 7}

⁹

(рис. 3).

Найденное решение не является целочисленным. Будем искать оптималь-

ную точку с целочисленными координатами.

2) Отметим в ОДР точки с целочисленными координатами, близко распо-

_{ложенные к границе или лежащие на границе, участок которой содержит точку}

_{X = (14 / 9; 20 / 9)}

_{(рис. 3). Такими точками являются (0;3) , (1; 2), (2;1), (3; 0) .}

_{Вычисляем в этих точках значения целевой функции}

_{Z (0;3) = 9 ,}

_{Z (1; 2) = 8 ,}

_{Z (2;1) = 7 ,}

_{Z (3; 0) = 6 , и выбираем из них наибольшее.}

_{Оптимальное целочисленное решение}

_{X * = (0;3) ,}

_{Z ( X *) = 9 .}

Рис. 3. Графическое решение примера 3