Ю. Н. Полшков

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

1.Этапы становления теории вероятностей и математической статистики как науки.

2.Стохастический эксперимент, случайное событие. Операции над событиями.

3.Основной принцип комбинаторики. Некоторые формулы комбинаторики.

1.Частота случайного события. Классическое определение вероятности.

2.Аксиоматика теории вероятностей.

3.Свойства вероятности.

Лекция 3. UУСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ

1.Условные вероятности.

2.Теорема умножения вероятностей.

3.Формула полной вероятности.

4.Формула Байеса.

1.Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов.

2.Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

3.Формула Пуассона.

1.Случайная величина.

2.Дискретная случайная величина и ее закон распределения.

3.Числовые характеристики дискретных случайных величин.

1.Закон распределения двух и более случайных величин.

2.Числовые характеристики системы дискретных случайных величин.

1.Непрерывная случайная величина. Функция распределения и ее свойства.

2.Плотность распределения и ее свойства.

3.Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение непрерывных случайных величин.

4.Начальные и центральные моменты случайной величины.

1.Нормальное распределение и его свойства.

2.Распределение Коши.

3.Показательное распределение.

1.Неравенство Чебышева.

2.Теорема Чебышева, ее сущность и значение для практики.

3

1.Виды связи между случайными величинами. Числовые характеристики системы двух случайных величин.

2.Выборочное уравнение регрессии. Сглаживание экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов (МНК).

3.Выборочное уравнение прямой линии регрессии.

1.Выборочный коэффициент корреляции. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

2.Практические способы решения задач линейной регрессии.

1.Параболическая корреляция второго порядка.

2.Методы нахождения уравнений криволинейной регрессии.

3.Понятие о множественной корреляции.

4

ВВЕДЕНИЕU

Человек в процессе своей жизнедеятельности сталкивается со случайными явлениями. Под случайным будем подразумевать явление, которое при неоднократном повторении опыта может протекать по-разному. Например: а) при подбрасывании монеты может выпасть как «герб», так и «решка»; б) при стрельбе из артиллерийского орудия траектории снарядов неизбежно отличаются друг от друга. Это может быть связано с неточностями изготовления снаряда, с ошибками установки ствола в заданное положение, с метеорологическими условиями и т.д. Поэтому при, казалось бы, одинаковых условиях стрельбы получают пучок траекторий, образующий т.н. рассеивание снарядов; в) при взвешивании одного и того же тела на точных весах результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Это может быть связано с положением тела на весах, с вибрацией весов, с ошибками показаний и т.д. Вообще говоря, в окружающей действительности практически нет явлений, в которых бы в той или иной мере не присутствовали элементы случайности.

Изучение массовых процессов, при которых некоторая совокупность опытов воспроизводится много раз при одинаковых условиях, и составляет предмет теории вероятностей и основанной на ней математической статистики. Как и все математические дисциплины, теория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС) пытается обнаружить и сформулировать общие закономерности случайных явлений в абстрактной форме, безразлично к природе рассматриваемых объектов. Благодаря такому подходу, выводы этой науки могут быть применены к самым разным явлениям окружающей действительности.

5

ЧАСТЬ I ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Лекция 1. НАЧАЛЬНЫЕU ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИU

План

1.Этапы становления теории вероятностей и математической статистики как науки.

2.Стохастический эксперимент, случайное событие. Операции над событиями.

3.Основной принцип комбинаторики. Некоторые формулы комбинаторики.

1.ТВиМС, подобно другим математическим наукам, развилась из потребностей практики и прошла ряд этапов своего становления.

В зачаточном состоянии вероятностные методы применялись в 16 веке в работах Тарталья и Кардано. В 17 веке Галилей изучал ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные и оценивая их вероятности. К этому же времени относятся первые попытки создания общей теории страхования, основанной на анализе закономерностей таких массовых случайных явлений, как заболеваемость, смертность, статистика несчастных случаев и т.д. Появляется профессия «актуарий» – специалист по страховым расчетам.

Простым материалом для изучения закономерностей случайных явлений оказались азартные игры (подбрасывание монеты, игральной кости и т.д.). Именно на базе азартных игр были введены понятия «вероятность», «математическое ожидание» и определены свойства и приемы их вычисления. Поэтому 17 век считают моментом возникновения ТВиМС и связывают его с именами таких ученых, как Паскаль, Ферма, Гюйгенс.

Следующий этап развития ТВиМС относят к исследованиям Якоба Бернулли и Муавра, которые работали на рубеже 17-18 веков. Якобу Бернулли принадлежит доказательство т.н. закона больших чисел. Муавр же открыл т.н. закон нормального распределения. Последующие работы Лапласа, Гаусса и Пуассона значительно расширили сферу применения вероятностных методов.

Важнейший период развития ТВиМС связан с Петербургской математической школой

19века. Благодаря работам Чебышева, Буняковского, Маркова, Ляпунова ТВиМС была поставлена на четкую логическую и математическую основу.

Советская школа теории вероятностей представлена крупнейшими учеными – Бернштейном, Колмогоровым, Хинчиным, Гнеденко, Смирновым и др. Наиболее выдающийся среди них – Андрей Николаевич Колмогоров, завершивший разработку системы аксиом теории вероятностей, определив тем самым ее законное место среди других математических дисциплин. В области математической статистики важнейшие результаты принадлежат Романовскому, Слуцкому, Смирнову, Колмогорову и др.

Яркими представителями зарубежной теории вероятностей являются Гальтон, Пирсон, Фишер, Нейман, Вальд, Винер, Феллер, Дуб, Крамер.

К украинской школе ученых-вероятностников советского и постсоветского периодов принадлежат Гнеденко, Гихман, Скороход, Королюк, Ядренко, Турбин, Ежов, Портенко, Булдыгин, Дороговцев А.Я., Дороговцев А.А., Козаченко, Шуренков, Кнопов, Анисимов, Працевитый и др. Отдельной строкой следует выделить донецкую вероятностную школу, родоначальником которой является Иосиф Ильич Гихман. Эта школа сформировалась на базе отдела теории вероятностей и математической статистики ИПММ НАН Украины и кафедры теории вероятностей и математической статистики Донецкого национального университета. К донецкой вероятностной школе принадлежат Гихман И.И., Линьков, Бондарев, Махно, Шайхет, Шаташвили, Гихман Ил.И. и др. ученые.

6

2. Исходными понятиями теории вероятностей являются понятия стохастического эксперимента, случайного события, вероятности случайного события.

Стохастическим называют эксперимент, результат которого нельзя предугадать заранее. Например, монету подбрасывают один раз. Результатом подбрасывания может быть либо «герб», либо «решка». Однако, на вопрос о том, какая из сторон монеты выпадет, ответить нельзя. Поэтому данный эксперимент – стохастический.

Пусть рассматриваемому эксперименту можно поставить в соответствие некоторое множество Ω, элементы которого несут наиболее полную информацию о предполагаемых результатах эксперимента. Множество Ω называют пространством элементарных событий

(или исходов), а элементы этого множества – элементарными событиями (исходами) и обо-

значают через ω .

2.Монета бросается дважды. Тогда Ω ={ГГ, ГР, РГ, РР}.

3.Игральная кость брошена один раз. Пространством элементарных исходов данного эксперимента является Ω ={1,2,3,4,5,6} .

4.Монета бросается до первого появления «герба». Количество элементарных исходов этого эксперимента является бесконечным (в отличие от примеров 1-3, где пространство элементарных исходов было конечным множеством). Однако, элементарные исходы данного эксперимента можно пронумеровать. Действительно,

n−1

числом элементов, в соответствие которым можно поставить номер (т.е. натуральное число), называют счетными.

5. Два лица А и В договорились встретиться в интервале времени [0;T ] . Обозначим через x время прихода А, а через y время прихода В. Тогда пространством элементарных

исходов будет квадрат

Ω ={(x, y) : 0 ≤ x ≤ T,0 ≤ y ≤ T} .

Элементов этого множества бесконечное число. Однако, пронумеровать их нельзя. Такое пространство является непрерывным.

Введем теперь понятие случайного события.

Случайное событие – это подмножество в пространстве элементарных исходов. ПримерU 2.U Игральная кость брошена один раз. Введем случайные события: A ={1,3,5}

– выпала нечетная цифра; B ={3,6} – выпала цифра, кратная трем; C ={4} – выпала цифра

«четыре».

Событие, которое наверняка наступит в результате данного эксперимента, называют достоверным и обозначают Ω. Событие, которое не может наступить в данном эксперименте, называют невозможным и обозначают . В примере 2 невозможным является событие – выпала цифра «семь».

Над событиями можно совершать операции.

Суммой событий А и В называют событие, состоящее в том, что произойдет событие А или событие В. Сумму событий принято обозначать А В или А+ В . Используя события примера 2, можно утверждать, что

A + B ={1,3,5,6}; A +C ={1,3,4,5}; B +C ={3,4,6}.

Произведением событий А и В называют событие, состоящее в том, что произойдет и событие А, и событие В. Произведение событий обозначают А∩ В или А В. Например,

A B ={3}; A C = .

7

Разностью событий А\ В (или А− В) называют событие, состоящее из элементарных исходов, входящих в событие A , но не входящих в событие В. Используя события примера 2, можно утверждать, что

A − B ={1,5}; В − А={6}; А−C ={1,3,5} .

Событие А = Ω− А называют противоположным событием к событию А. Операцию взятия противоположного события называют операцией дополнения. Например, А ={2,4,6} – выпала четная цифра. Заметим, что для противоположных событий выполняются свойства:

А+ А = Ω; А А = .

События А и В называют несовместными, если они не могут наступить одновременно, т.е. А В = . Используя события примера 2, можно утверждать, что A C = , а значит A и С – несовместные события.

3. Для дальнейшего изложения курса необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчинённых определённым условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.

ОсновнойU принцип комбинаторики (теорема умножения).

Если для выполнения некоторой процедуры необходимо выполнить последовательно k шагов, причем первый шаг можно осуществить n1 различными способами, второй – n2 B

различнымиB способами и т.д., k -й шаг – nk B различнымиB способами, то общее число N раз-

личных вариантов выполнения данной процедуры можно найти по формуле

N = n1 n2 ... nk .

ПримерU 3.U Из Макеевки в Донецк можно добраться автобусом (А), маршрутным такси (М), троллейбусом (Т), электричкой (Э). Из Донецка в Киев можно добраться поездом (П), самолетом (С), автобусом. Сколько имеется различных способов добраться из Макеевки в Киев через Донецк?

Решение. Данная процедура выполняется за 2 шага (1-й – Макеевка-Донецк, 2-й – Донецк-Киев). Первый шаг выполняется четырьмя способами (А, М, Т, Э), второй – тремя (П, С, А). Поэтому N = 4 3 =12 .

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Pn = n!,

где n!=1 2 ... n , и, по определению, 0!=1 .

ПримерU 4.U Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трёхзначных чисел

P3 = 3!= 6 .

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

ПримерU 5.U Сколько можно составить сигналов из 4 флажков различного цвета, взятых

по 2?

Решение. Число сигналов

8

A42 = (4 −4!2)! =12 .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

ПримерU 6.U Сколькими способами можно выбрать двоих студентов из пяти? Решение. Число способов