Табл. 1. Таблица распределения частот к примеру 1

49

mo = 29 .

ЗамечаниеU 2.U Практически любой пакет прикладных программ, позволяющий делать математические расчеты, содержит статистические функции или процедуры. Например, в Microsoft Excel встроены статистические функции, среди которых есть СРЗНАЧ( ), МЕДИАНА( ), МОДА( ). В Maple 6 их аналогами, соответственно, являются функции stats[describe,mean]( ), stats[describe,median( ), stats[describe,mode]( ). В дальнейшем будут указываться наиболее простые пути решения задач математической статистики, позволяющие избежать «ручного» счёта.

2. Наиболее употребительными эмпирическими характеристиками рассеивания яв-

ляются: дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации. На практике используют ещё размах варьирования R (см. лекцию 9) и положения крайних членов выборки.

Решение. Воспользовавшись одной из формул выборочной дисперсии, получим

sX 2 = 1 ∑n xi 2 ni −(x)2 =

n i=1

= 201 (262 1+ 272 2 + 282 1+ 292 6 +302 4 +312 4 +322 2) −(29,5)2 = = 1745620 −870,25 = 872,8 −870,25 = 2,55 .

Выборочные стандартное отклонение и коэффициент вариации, соответственно, равны sX = 2,55 ≈1,5969

vX = 1,596929,5 ≈ 0,054132 .

3. Кроме перечисленных характеристик, на практике часто приходится вычислять статистические (эмпирические) моменты.

Начальным статистическим моментом k -го порядка принято называть число

50

ak ( X ) = 1 ∑n xi k .

n i=1

Центральным статистическим моментом k -го порядка называют число

mk ( X ) = 1 ∑n (xi − x)k . n i=1

Моменты выборки связаны с характеристиками выборки следующим образом:

Знание эмпирических моментов позволяет вычислить асимметрию и эксцесс выборки.

Уже отмечалось, что нормальное распределение занимает особое место в теории вероятностей и математической статистике. Поэтому при рассмотрении распределений, отличных от нормального, стремятся дать количественную оценку этого отличия. Пытаются выяснить:

•асимметричность распределения, поскольку нормальное распределение является симметричным;

•островершинность кривой распределения, поскольку нормальная кривая имеет куполообразную форму вершины.

Асимметрия выборки определяется соотношением

Показатель асимметрии для нормального распределения равен нулю. Рассмотрим распределение, кривая плотности которого изображена на рис. 1. Эта кривая такова, что по одну сторону от математического ожидания расположена “длинная часть”, а по другую – “короткая часть”. Если “длинная часть” расположена слева от математического ожидания, то асимметрия отрицательна. Именно такая кривая плотности изображена на рис. 1. Если “длинная часть” лежит справа от математического ожидания, то асимметрия положительна.

Рис. 1. Кривая плотности распределения с отрицательной асимметрией.

Для характеристики сглаженности кривой плотности около ее центра используют показатель «эксцесс».

Эксцессом выборки называют число

Е( X ) = m4 ( X ) −3. sX 4

Отношение центрального момента 4-го порядка к среднеквадратическому в 4-й степени, для нормально распределенной случайной величины, равно 3. Т.о., эксцесс нормального распределения равен нулю. Положительное значение эксцесса обычно указывает на то, что кривая

51

плотности распределения в окрестности моды имеет более высокую и более острую вершину, чем нормальная кривая с тем же центром и дисперсией (рис. 3). Отрицательное значение эксцесса указывает на более низкий и более плоский характер вершины по сравнению с соответствующей нормальной кривой (рис. 2).

Рис. 2. Кривая плотности распределения с отрицательным эксцессом. Нормальная кривая изображена пунктиром.

Рис. 3. Кривая плотности распределения с положительным эксцессом. Нормальная кривая изображена пунктиром.

ПримерU 3.U На основе данных примера 1, рассчитать асимметрию и эксцесс выборки, и проиллюстрировать их графически.

Решение. Вычислим асимметрию выборки, воспользовавшись соответствующей функцией из Maple 6:

S ( X ) = stats[describe,skewness]( ) = -.40521.

Заметим, что число (-.40521) в более привычном для нас виде выглядит как (-0,40521). Т.е. в десятичном формате Maple 6 использует точку вместо запятой и опускает число 0, если 0 – целая часть десятичной дроби. В Microsoft Excel функция СКОС( ) вычисляет асимметрию.

На рис. 4 построим гистограмму частотей и плотность распределения нормальной случайной величины N(29,5;1,5969). Действительно, более «длинная часть» гистограммы находится левее среднего значения 29,5. Это указывает на отрицательность асимметрии.

52

Рис. 4. Гистограмма частостей и график плотности распределения нормальной случайной величины N(29,5;1,5969).

Рассчитаем эксцесс выборки, воспользовавшись соответствующей функцией из Maple

6:

Е( X ) = stats[describe,kurtosis]( ) – 3 = -.44521.

Функция ЭКСЦЕСС( ) из Microsoft Excel также вычисляет эксцесс выборки.

Для иллюстрации эксцесса изобразим на рис. 5 ту же гистограмму частостей и график нормальной кривой с центром в моде выборки и с тем же стандартным отклонением, что и у выборки, т.е. N(29;1,5969).

Рис. 5. Гистограмма частостей и график плотности распределения нормальной случайной величины N(29;1,5969).

Пример 5 выполнен.