2.7. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Z. Будем рассматривать это тело как совокупность материальных точек с массами , через обозначим расстояние от i-й материальной точки до оси вращения, тогда линейная скорость этой точки будет . Кинетическая энергия этой точки будет

.

Кинетическая энергия вращающегося тела складывается из кинетических энергий отдельных материальных точек, составляющих это тело:

.

Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела I относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна

. (2.14)

При произвольном движении тела в какой-то момент вектор угловой скорости может совпадать с одной из главных осей, и в этот момент . В следующий момент вектор угловой скорости меняет свое направление и может не совпадать с главной осью, тогда

.

В общем случае, когда оси координат не совпадают с главными осями инерции, и центробежные моменты инерции не равны нулю, выражение для кинетической энергии становится еще более сложным:

,

индексы и пробегают значения .

Если тело кроме вращательного движения совершает еще и поступательное движение, то для случая, когда оси системы координат, связанной с телом, направлены вдоль главных осей инерции.

Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, равна приращению его кинетической энергии, то есть . Продифференцируем соотношение (2.14), тогда

,

где – проекция углового ускорения на направление угловой скорости. Произведение дает момент всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения. Следовательно, элементарная работа всех внешних сил, действующих на тело, равна

.

2.8. Плоское движение твердого тела

При плоском движении, как было показано в кинематике, достаточно рассмотреть движение какого-либо сечения тела в одной плоскости. Поскольку вектор угловой скорости всегда перпендикулярен этой плоскости, то ось Z' системы координат S', жестко связанной с телом, можно провести по направлению, совпадающему с вектором . Кроме того, чтобы избежать учета центробежных сил инерции, ось вращения необходимо провести через центр масс. Тогда необходимо принять во внимание только момент импульса относительно оси вращения

, ,

Силы, действующие на тело, лежат в плоскости XY, а моменты сил перпендикулярны ей. Уравнения движения твердого тела принимают вид

, (2.15)

,

где .

Поскольку ось проходит через центр масс, то уравнение (3.20) можно записать как уравнение движения центра масс

.

Кинетическая энергия тела при плоском движении равна

.

Наиболее распространенными случаями плоского движения являются движение физического маятника и скатывание цилиндра с наклонной плоскости.

Физический маятник

Физический маятник – это массивное тело, подвешенное на нити и совершающее колебания в поле тяготения. Уравнение моментов имеет вид

,

где , J – момент инерции относительно оси. Если угол отклонения мал, то и уравнение можно переписать в виде

.

Это уравнение гармонических колебаний, его решение имеет вид функции или . Частота и период этих колебаний определяется формулами и . Если амплитуды колебаний нельзя считать малыми, то необходимо решать нелинейное уравнение.