- •Введение
- •1. Динамика системы материальных точек
- •1.1. Второй закон Ньютона для системы материальных точек
- •1.2. Теорема о движении центра масс системы
- •1.3. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала
- •1.4. Момент импульса и момент сил относительно неподвижной оси
- •1.5. Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Момент инерции
- •2. Динамика твердого тела
- •2.1. Число степеней свободы твердого тела. Углы Эйлера
- •2.2. Виды движения твердого тела
- •2.3. Уравнения движения
- •2.4. Вычисление момента инерции относительно оси вращения
- •2.5. Теорема Гюйгенса
- •2.6. Понятие о тензоре инерции
- •2.7. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
- •2.8. Плоское движение твердого тела
- •Физический маятник
- •Скатывание цилиндра с наклонной плоскости
- •2.9. Движение твердого тела, закрепленого в точке
- •2.10. Свободные оси
- •2.11. Нутация
- •2.12. Гироскопы
- •2.13. Прецессия гироскопа
- •2.14. Прецессия волчка
- •2.15. Несвободный гироскоп
- •2.16. Применение гироскопов
- •634050, Томск, пр. Ленина, 34а, тел. (382-2) 23-33-35
2.7. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Z. Будем рассматривать это тело как совокупность материальных точек с массами , через обозначим расстояние от i-й материальной точки до оси вращения, тогда линейная скорость этой точки будет . Кинетическая энергия этой точки будет
.
Кинетическая энергия вращающегося тела складывается из кинетических энергий отдельных материальных точек, составляющих это тело:
.
Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела I относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна
. (2.14)
При произвольном движении тела в какой-то момент вектор угловой скорости может совпадать с одной из главных осей, и в этот момент . В следующий момент вектор угловой скорости меняет свое направление и может не совпадать с главной осью, тогда
.
В общем случае, когда оси координат не совпадают с главными осями инерции, и центробежные моменты инерции не равны нулю, выражение для кинетической энергии становится еще более сложным:
,
индексы и пробегают значения .
Если тело кроме вращательного движения совершает еще и поступательное движение, то для случая, когда оси системы координат, связанной с телом, направлены вдоль главных осей инерции.
Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, равна приращению его кинетической энергии, то есть . Продифференцируем соотношение (2.14), тогда
,
где – проекция углового ускорения на направление угловой скорости. Произведение дает момент всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения. Следовательно, элементарная работа всех внешних сил, действующих на тело, равна
.
2.8. Плоское движение твердого тела
При плоском движении, как было показано в кинематике, достаточно рассмотреть движение какого-либо сечения тела в одной плоскости. Поскольку вектор угловой скорости всегда перпендикулярен этой плоскости, то ось Z' системы координат S', жестко связанной с телом, можно провести по направлению, совпадающему с вектором . Кроме того, чтобы избежать учета центробежных сил инерции, ось вращения необходимо провести через центр масс. Тогда необходимо принять во внимание только момент импульса относительно оси вращения
, ,
Силы, действующие на тело, лежат в плоскости XY, а моменты сил перпендикулярны ей. Уравнения движения твердого тела принимают вид
, (2.15)
,
где .
Поскольку ось проходит через центр масс, то уравнение (3.20) можно записать как уравнение движения центра масс
.
Кинетическая энергия тела при плоском движении равна
.
Наиболее распространенными случаями плоского движения являются движение физического маятника и скатывание цилиндра с наклонной плоскости.
Физический маятник
Физический маятник – это массивное тело, подвешенное на нити и совершающее колебания в поле тяготения. Уравнение моментов имеет вид
,
.
Это уравнение гармонических колебаний, его решение имеет вид функции или . Частота и период этих колебаний определяется формулами и . Если амплитуды колебаний нельзя считать малыми, то необходимо решать нелинейное уравнение.