2.6. Понятие о тензоре инерции

Для полного описания движения твердого тела необходимо кроме движения одной из его точек знать движение тела около этой точки как точки закрепления. Важнейшим понятием при этом является тензор инерции. Будем рассматривать тело как совокупность материальных точек с массами .

Закрепим тело в точке О. Обозначим радиус-вектор i-й материальной точки . Пусть – мгновенная угловая скорость тела; тогда скорость i-й точки тела . Поэтому момент импульса всего тела относительно точки O равен

. (2.8)

Векторное равенство (2.8) можно написать в виде трех проекций на оси координат:

(2.9)

Учитывая, что , (2.9) можно переписать следующим образом:

(2.10)

где

, (2.11)

и аналогично выражаются другие величины: и т.д.

Из (2.11) видно, , и т.д. Поэтому из девяти величин , , ... различны лишь шесть. Величины , , называются осевыми моментами инерции, а , , – центробежными моментами инерции.

Таким образом, момент импульса тела относительно неподвижного начала весьма сложно зависит от распределения масс в теле и его направление не совпадает в общем случае с угловой скоростью вращения тела. Совокупность величин

(2.12)

называется тензором инерции. Величины , , являются диагональными элементами тензора, а остальные – недиагональными. В данном случае величины, расположенные симметрично относительно диагонали, равны. Такой тензор называется симметричным.

Выбором системы координат все недиагональные элементы тензора можно сделать равными нулю, отличными от нуля будут лишь диагональные элементы, следовательно, тензор примет вид

(2.13)

В этом случае говорят, что оси тела, совпадающие с осями координат, являются главными осями инерции. Величины называются главными моментами инерции. О тензоре в этом случае говорят, что он приведен к диагональному виду. Таким образом, если оси системы координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции отсутствуют.

Процесс нахождения главных осей сводится к математической процедуре диагонализации тензора. Мы не будем здесь ее рассматривать. Отметим лишь результат: через любую точку твердого тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные оси. Главные моменты инерции , , будут различны для различных точек тела. Если главные оси проведены через центр масс тела, они называются центральными главными осями. Таким образом, при переходе от одной точки тела к другой главные оси, вообще говоря, меняют свое направление, а главные моменты – свое значение.

Главные оси во многих случаях могут быть найдены без громоздких математических расчетов, которые надо провести для диагонализации тензора инерции. Для этого иногда бывает достаточно воспользоваться простыми соображениями симметрии.

В качестве примера рассмотрим однородный диск. Точка O, лежащая в средней плоскости диска, есть точка, относительно которой надо найти главные оси. Очевидно, что одна главная ось направлена перпендикулярно плоскости диска. Другой главной осью является ось, лежащая в средней плоскости и проходящая через данную плоскость и центр диска; на рисунке эта ось обозначена Y. Действительно, в этом случае имеем

.

Из-за симметрии диска относительно плоскостей и и . Таким образом, выбранная ось действительно является главной. Третья главная ось однозначно определяется двумя найденными, так как должна быть перпендикулярна им обеим. Проверим, что ось Z действительно является главной. Имеем

, .

Равенства , обусловливаются симметрией диска относительно плоскости .

В шаре относительно любой его точки главные оси могут быть найдены следующим образом. Одна из главных осей проходит через центр шара, а две другие ориентированы произвольным образом в плоскости, перпендикулярной первой оси. Доказательство того, что данные оси являются главными, основывается на простых соображениях симметрии, из которых следует, что все центробежные моменты в этом случае равны нулю.