2.11. Нутация

Представим себе тело, которое обладает аксиальной симметрией относительно некоторой оси, то есть является телом вращения. Ясно, что одна из центральных главных осей совпадает с осью симметрии, а две других перпендикулярны ей. Ось X направим вдоль оси симметрии, а оси Y и Z – вдоль двух других центральных главных осей. Из условий симметрии следует, что , . Уравне­ния (2.19) имеют вид

,

,

.

Прежде всего из этих уравнений видно, что возможно движение, при котором , , то есть вращение вокруг оси симметрии тела с постоянной скоростью. Однако это не единственная возможность. Запишем второе и третье уравнения при условии в следующем виде:

,

,

где . Эти уравнения имеют решение

, .

Вектор угловой скорости , лежащий в плоскости (YZ), вращается вокруг начала с круговой частотой . Полная угловая скорость

.

Этот суммарный вектор движется вокруг оси X по поверхности конуса с углом при вершине , то есть вектор угловой скорости вращения тела не совпадает с осью симметрии тела – осью X.

Полный момент импульса, где – проекция момента импульса фигуры на ее ось, такой момент импульса имело бы тело, если бы оно вращалось вокруг своей оси; – проекция момента импульса на направление, перпендикулярное оси. Из геометрических построений видно, что вектора и ось фигуры лежат в одной плоскости. Направление векторов , и в общем случае не совпадают, но угол между ними остается постоянным. Вектор составляет с осью X угол , . При угол . Так как , , и, следовательно, направление полного момента импульса сохраняется.

В каждый момент ось фигуры совершает вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью , а так как сохраняет направление в пространстве неизменным и и лежат в одной плоскости с осью фигуры, то мгновенная ось должна вращаться вокруг с той же угловой скоростью . Это движение оси симметрии тела вокруг неподвижного в пространстве вектора полного момента импульса называется нутацией,  – скорость нутации. При таком движении вектор вращается вокруг оси симметрии с той же скоростью , как это было описано выше. Амплитуда нутации зависит от причин (начальных условий), которые ее вызвали. Но частота ее определяется только моментом инерции и угловой скоростью вращения вокруг оси симметрии. Тело может вращаться и без нутации, если его угловая скорость направлена строго по оси симметрии.

К телам вращения относится также шар. У него , и поэтому . Это означает, что у шара ось вращения всегда в отсутствие внешних сил сохраняет фиксированное положение относительно тела и никакой нутации быть не может. Это обусловлено тем, что любая ось, проведенная через центр шара, является центральной главной осью тензора инерции. Если шар неоднороден, то нутация у него может быть. В частности, наблюдается нутация оси вращения Земли. Это доказывает, что земной шар нельзя рассматривать как однородный.

2.12. Гироскопы

Аксиально-симметричное тело, приведенное в очень быстрое вращение вокруг своей оси симметрии, называется гироскопом. Примером его может служить диск, быстро вращающийся вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно поверхности. В своеобразном, а иногда причудливом (на первый взгляд) поведении гироскопа под действием внешних сил позволяют разобраться законы динамики. Гироскоп обладает большой динамической устойчивостью; в этом можно убедиться, проведя опыт с тяжелым диском, помещенным в кардановом подвесе. Гироскоп (тяжелый диск) может вращаться с малым трением вокруг оси АА. Подшипники этой оси закреплены в кольце В, которое само способно вращаться вокруг оси СС, перпендикулярной оси волчка. Подшипники оси СС закреплены в полукольце D, способном вращаться вокруг оси Е. Все три оси пересекаются в центре масс диска и являются центральными главными осями. Диск оказывается как бы подвешенным в своем центре масс, а потому действие силы тяжести на гироскоп полностью уравновешено. Благодаря карданову подвесу ось может занять любое положение в пространстве.

Если, взяв трубку Т в руку, поворачивать прибор в разных направлениях, то ось АА гироскопа (не вращающегося) практически не меняет своего положения в пространстве. Но даже при слабых воздействиях на кольца подвеса не вращающийся гироскоп легко поворачивается вокруг осей СС или Е. Если же гироскоп приведен в быстрое вращение вокруг оси АА, то кратковременные даже довольно сильные воздействия внешней силы на кольца В и D почти не изменяют положения оси гироскопа. Объясняется это тем, что вращающийся гироскоп имеет большой момент импульса , направленный вдоль оси АА. Кратковременное воздействие на одно из колец создает лишь небольшой прирост момента импульса ( – момент силы,  – время ее действия), поэтому полный момент импульса почти не изменяется. Можно считать, что ось вращения совпадает с осью симметрии гироскопа и момент импульса . Ось вращения совпадает с центральной главной осью тензора инерции гироскопа, причем она выбирается так, чтобы быть устойчивой.

Вокруг этой оси осуществляется свободное устойчивое вращение. Это направление оси устойчивого вращения сохраняется. Например, если, взявшись за основание карданного подвеса, изменять произвольным образом его ориентировку, то шарниры будут вращаться таким образом, чтобы ось сохраняла неизменное направление в пространстве. Поэтому, если кардан закреплен на каком-либо теле, например на ракете, то при произвольном движении ракеты ось сохраняет неизменное направление в пространстве относительно системы неподвижных звезд.