2.2. Виды движения твердого тела

Движение твердого тела представляет собой достаточно сложное механическое явление. Можно выделить следующие виды движения твердого тела: поступательное, вращение вокруг неподвижной оси, плоское. Поступательное и вращательное движения являются основными движениями твердого тела. Остальные виды движения можно свести к одному из основных движений или к их совокупности.

Поступательное движение. Это такое движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению.

При поступательном движении все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Это обстоятельство позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки тела, то есть к задаче кинематики точки. Следовательно, поступательно движущееся тело имеет три степени свободы и может быть полностью описано, если известна зависимость от времени радиус-вектора любой точки этого тела и положение последнего в начальный момент. Углы Эйлера при поступательном движении постоянны.

Вращательное движение. При вращательном движении вокруг неподвижной оси существуют две точки, которые все время остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, все время остаются неподвижными. Другие точки твердого тела движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения.

Плоское движение твердого тела. Плоским называется движение, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях. Движение тела в этом случае полностью определяется движением одного из его сечений в какой-либо из параллельных плоскостей, а положение сечения – положением двух точек этого сечения. Положение двух точек на плоскости характеризуется четырьмя параметрами. С учетом уравнения связи между их координатами число степеней свободы тела, совершающего поступательное движение, равно трем. Их можно выбрать следующим образом. Система S', жестко связанная с телом, выбирается так, чтобы плоскость O'X'Y' совпадала с неподвижной плоскостью OXY. Тогда оси O'Z' и OZ всегда будут параллельны, а положение тела будет определяться двумя координатами точки O' или радиус-вектором точки и одним углом Эйлера .

К рассмотренным видам движения можно свести любое сложное движение. Действительно, скорость каждой точки тела можно представить как сумму скорости поступательного движения точки твердого тела, в которой находится начало S'-системы координат и скорости вращательного движения с мгновенной угловой скоростью вокруг оси, проходящей через это начало:

. (2.1)

Это разложение неоднозначно. При изменении изменяется , то есть положение оси вращения. Та ось, для которой в данный момент , называется мгновенной осью.

Покажем, что плоское движение можно свести к чисто вращательному движению вокруг мгновенной оси. Действительно, при плоском движении скорость произвольной точки O' тела всегда перпендикулярна вектору , а это значит, что всегда найдется такая точка М, жестко связанная с телом (точка М может оказаться и вне тела), скорость которой равна нулю в данный момент времени. Положив в (2.1) , можно найти положение точки М, то есть найти ее радиус-вектор относительно точки O' (см. рисунок). Этот вектор перпендикулярен векторам и , его направление соответствует векторному произведению , а модуль .

Точка М определяет положение соответствующей оси (она совпадает по направлению с вектором ) и проходит через точки, скорости которых в данный момент равны нулю. Таким образом, движение твердого тела в данный момент времени можно рассматривать как чистое вращение вокруг этой оси, которая является мгновенной осью вращения.

Положение мгновенной оси, вообще говоря, меняется со временем. Например, в случае катящегося по плоскости цилиндра мгновенная ось в каждый момент времени совпадает с линией касания цилиндра и плоскости.