2. Динамика твердого тела

При изучении движения твердого тела в механике пренебрегается его внутренней атомно-молекулярной структурой. Предполагается, что масса тела непрерывно распределена по объему с некоторой объемной плотностью . Малый элемент объема обладает массой . Эти элементы можно рассматривать как материальные точки и описывать твердое тело как систему материальных точек. Такое представление значительно упрощает математические расчеты. В общем случае эти элементы могут перемещаться относительно друг друга, например, при деформациях. В том случае, когда расстояние между элементами не изменяется, тело называется абсолютно твердым. Таким образом, абсолютно твердое тело представляет идеализированную систему материальных точек, при любых движениях которой взаимное расстояние между материальными точками сохраняется.

Понятие абсолютно твердого тела играет важную роль в определении тела отсчета, введении эталона длины. Вместе с тем теория движения твердых тел под действием внешних сил имеет большое значение для практики. В частности, на основе этой теории решаются задачи о движении гироскопов, о вращении спутников и так далее.

Возможность применения той или иной модели определяется не только свойствами тел, но и теми задачами, которые необходимо решить.

2.1. Число степеней свободы твердого тела. Углы Эйлера

В произвольном случае, когда на движение не наложены никакие ограничения, абсолютно твердое тело обладает шестью степенями свободы. Действительно, чтобы однозначно определить положение тела, достаточно задать координаты трех его точек, не лежащих на одной прямой – то есть девять координат. Учитывая три уравнения, определяющие расстояние между точками, получаем шесть независимых координат, шесть степеней свободы. Эти шесть независимых координат можно задавать различными способами в зависимости от обстоятельств.

В частности, для того, чтобы охарактеризовать движение твердого тела относительно некоторой системы отсчета S удобно воспользоваться системой координат S', жестко связанной с изучаемым твердым телом. Тогда ориентировка твердого тела в пространстве полностью определяется направлением осей этой системы, то есть направлением единичных векторов .

В системе S' положение каждой точки тела фиксировано или задается радиус-вектором относительно начала либо декартовыми координатами . Поскольку система S' жестко связана с телом, координаты каждой его точки имеют постоянное значение. Ориентировка этой системы координат относительно инерциальной системы координат S, в которой рассматривается движение тела, задается с помощью углов Эйлера. Смысл их ясен из следующего построения. Пусть начала координат систем O и O' совпадают. Плоскости O'X'Y' и OXY пересекаются по линии узлов . Углами Эйлера называются углы

, ,

, ,

, .

Углы , y и называются соответственно углами собственного вращения, прецессии и нутации (смысл названий станет понятным в дальнейшем). Если начала координат не совпадают, то положение O' в S-системе координат задается радиус-вектором или декартовыми координатами . Таким образом, положение твердого тела как системы с шестью степенями свободы описывается шестью величинами . Число степеней свободы может уменьшаться при рассмотрении конкретных видов движения.