1.3. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала

При описании движения твердого тела важными понятиями являются момент силы и момент импульса. Пусть O – какая-то точка, относительно которой рассматриваются моменты вектора силы или вектора импульса, ее называют началом или полюсом. Обозначим через радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы . Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора на силу :

.

Из определения следует, что момент не изменится, если точку приложения силы перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы (площади параллелограммов, построенных на векторах и , равны между собой).

Если на материальную точку действует несколько сил, то равнодействующая этих сил равна их геометрической сумме. Пусть на материальную точку действуют две силы и , тогда равнодействующая этих сил будет . На основании свойств векторного произведения можно написать . Это означает, что момент равнодействующей двух или нескольких сил относительно некоторого начала равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно того же начала.

Аналогично определяется момент импульса материальной точки относительно полюса О. Так называется векторное произведение

. (1.4)

Момент импульса и момент силы связаны между собой. Чтобы найти эту связь, продифференцируем выражение (3.1) по времени, тогда получим

.

Точка над буквой означат первую производную по времени.

Так как начало О неподвижно, то – скорость материальной точки, связанная с импульсом соотношением . Поэтому первое слагаемое равно нулю, как векторное произведение коллинеарных векторов и .

Второе слагаемое можно преобразовать с помощью уравнения Ньютона . Тогда получится или

. (1.5)

Это соотношение называется уравнением моментов: производная по времени момента импульса материальной точки относительно неподвижного начала равна моменту действующей силы относительно того же начала.

Уравнение моментов (1.5) можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек. Моментом импульса системы материальных точек относительно некоторого начала называется векторная сумма моментов импульсов всех материальных точек системы относительно того же начала.

Аналогично момент всех действующих на систему материальных точек сил определяется как векторная сумма моментов отдельных сил. Вместо того, чтобы складывать моменты всех сил, можно сначала найти равнодействующую этих сил, а затем вычислить ее момент, также можно поступать и при нахождении импульса системы материальных точек. Предполагая начало неподвижным, напишем уравнение моментов для каждой материальной точки

,

где – суммарный момент всех внутренних сил, действующих на i-ю материальную точку, а затем векторно сложим их.

Полный момент внутренних сил относительно любого начала равен нулю. Это объясняется тем, что внутренние силы всегда входят попарно: силе , с которой k-я точка действует i-ю, соответствует равная и противоположно направленная сила , с которой i-я точка действует на k-ю. При вычислении моментов этих сил точки их приложения можно перенести в одну и ту же точку на этой прямой. Тогда силы взаимно уничтожаются, а их полный момент будет равен нулю. Таким образом, третий закон Ньютона позволяет исключить из уравнения моментов для системы материальных точек внутренние силы. Для системы материальных точек уравнение моментов имеет следующий вид:

, (1.6)

то есть производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала.

Момент сил и момент импульса зависят не только от величины и направления этих векторов, но и от положения начала. Оба момента, вообще говоря, изменятся, если перейти к новому началу. Пусть О и О' – два неподвижных начала. Радиус-векторы и одной и той же точки относительно этих начал связаны соотношением

,

где – радиус-вектор начала О относительно О'. Написав выражения для моментов импульса каждой материальной точки системы и просуммировав эти выражения по всем материальным точкам, получим

,

или

,

где – полный импульс системы, и – моменты ее импульса относительно начал О и О' соответственно. Если импульс равен нулю, то . В этом случае вектор момента импульса не зависит от выбора начала.

Аналогично,

,

где и – моменты сил, действующих на систему относительно начал О и О', а – геометрическая сумма этих сил. Если результирующая сила равна нулю, то . Это имеет место, например, для пары сил, то есть двух равных, но противоположно направленных сил, линии действия которых смещены одна относительно другой. Вот почему можно говорить о моменте пары сил, не указывая начала, относительно которого этот момент берется.