1.4. Момент импульса и момент сил относительно неподвижной оси

Векторное уравнение (1.6) эквивалентно трем скалярным уравнениям,

, , ,

которые получаются из уравнения (1.6) путем проецирования его на неподвижные оси декартовой системы координат. Величины и называется соответственно моментами импульса и силы относительно оси Х. Аналогично говорят о моментах импульса и силы относительно координатных осей Y и Z.

Вообще, моментами и импульса и силы относительно произвольной оси X называют проекции векторов и на эту ось в предположении, что начало О лежит на рассматриваемой оси. Уравнение

(1.7)

называется уравнением моментов относительно неподвижной оси X.

1.5. Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Момент инерции

Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения. За неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения. Если материальная точка вращается по окружности радиуса r, то момент ее импульса относительно оси вращения равен . Пусть – угловая скорость вращения, тогда и, следовательно, . Если вокруг оси О вращается система из N материальных точек с одной и той же угловой скоростью , то , где суммирование проводится по всем материальным точкам системы. Величину  как одинаковую для всех материальных точек можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится

, (1.8)

где

. (1.9)

Величина I, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси. Момент инерции системы характеризует распределение масс относительно оси вращения. Уравнение (1.8) показывает, что при вращении системы момент ее импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции системы материальных точек относительно той же оси на ее угловую скорость.

Если на вращательное движение системы материальной точки накладывается еще радиальное движение их, а также движение параллельно оси, то наличие таких движений не отразится на справедливости формулы (1.8). Это следует из того, что момент импульса материальной точки зависит от ее скорости линейно. Когда же скорость направлена по радиусу или параллельно оси вращения, то момент импульса относительно этой оси равен нулю, поэтому такое движение непосредственно не сказывается на виде связи между моментом импульса системы относительно оси вращения и ее угловой скорости. Их влияние заключается в том, что момент инерции меняется во времени в соответствие с мгновенной конфигурацией системы. В этом случае уравнение (1.7) принимает вид

, (1.10)

где – момент внешних сил относительно оси вращения. Это – основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для материальной точки. Роль массы играет момент инерции I, роль скорости – угловая скорость , роль силы – момент силы M, а роль импульса – момент импульса L. Момент импульса L называют также вращательным импульсом системы материальных точек.

Важным частным случаем является вращение системы материальных точек с неизменным моментом инерции или твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае момент инерции I при вращении остается постоянным, и уравнение (1.10) переходит в

. (1.11)

Произведение момента инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно той же оси.