Неперервність функції
Означення:
Функції f(x)
називається неперервною при х = а, якщо
вона визначена в деякому околі а і
.
Це визначення містить такі чотири умови:
повинна бути визначена в
деякому околі
.Повинні існувати скінченні границі
і
.Ці границі справа та зліва повинні бути однакові.
Ці границі повинні бути однакові.
Розриви функції
Розрив I роду - коли існують скінченні границі справа та зліва від a, тобто виконується друга умова, але не виконується хоча б одна з останніх умов.
Розрив II роду – коли границі справа або зліва від а дорівнюють
.
Вправи
1. Вказати точку розриву
функції
,
знайти
,
,
,
побудувати криву по точках
-2;0;1;3;4;
і 6.
2. Знайти точки розриву і побудувати графіки функцій:
1)
;
2)
;
3)
.
3 Побудувати графік функції:
і вказати точку розриву. Які з чотирьох умов неперервності в цій точці виконуються і не виконуються
3. Побудувати графік функції
і вказати точки розриву. Які умови неперервності виконуютьсяв точках розриву і які не виконуються?
4. Побудувати графіки функцій
1)
2)
Які з умов неперервності виконуються в точках розриву, а які не виконуються?
Побудувати графік функції
Вказати точку її розриву. Які із умов неперервності в ній виконуються і які ні?
6. Вказати точку розриву
функції
,
знайти
,
,
і побудувати графік функції. Які умови
неперервності в точці розриву не
виконуються?
7. Побудувати графік функції
І вказати точки її розриву.
8. Знайти точки розриву і побудувати графіки функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Асимптоти
Асимптоти кривої називається пряма, до якої необмежено наближається точка кривої при її віддалині по кривій у нескінченність.
Якщо
,
то пряма
- вертикальна асимптота кривої
.Якщо існують границі
і
,
то пряма
- похила асимптота функції
.
Вправи
Визначити асимптоти кривої
і побудувати криву по точках
В прикладах 9 – 11 знайти асимптоти кривих, виділивши з дробу лінійну цілу частку, побудувати асимптоти і кривіх
1)
2)
3)
1)
2)
3)
1)
2)
3)
В прикладах 12 – 14 знайти асимптоти кривих і побудувати криві
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
1)
2)
Питання для самоконтролю
яка змінна називається упорядкованою?
яке означення границі змінної?
який геометричний зміст границі змінної?
яка змінна називається нескінченно малою?
яка змінна називається нескінченно великою?
які теореми про границі функції ви знаєте?
які правила розкриття невизначеностей ви знаєте?
Диференціальні числення функції однієї змінної
Поняття похідної. Правила диференціювання
Похідною функції
в точці
називається число, що дорівнює
,
якщо ця границя існує і позначається
.
Функція при цьому називається
диференційованою в точці
.
Користуючись позначенням
,
,маємо
.
Якщо функція має похідну в
кожній точці інтервалу
,
то вона називається диференційованою
на ньому і її похідна позначається
,
або
.
При цьому похідна є функцією від
.
Основні правила диференціювання
похідна суми, добутку, частки
:
;
Похідна складної функції:якщо
,
де
,
то
.похідна оберненої функції:
,
де
є оберненою функцією до
.
Ці формули справедливі, якщо розглядувані функції диференційовані.
Таблиця похідних
Нехай
,
тоді
№ п/п |
Функція
|
Похідна функції
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
Похідна функції, заданої параметрично знаходиться за формулою: у’х= у’ /х’
Щоб знайти похідну функції, заданої неявно, потрібно взяти похідну по х від обох частин рівності, вважаючи у функцією від х, і одержане рівняння розв’язати відносно у’
Вправи
Застосовуючи правила і формули
диференціювання, знайти
:
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
;
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Знайти похідні складних функцій:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Знайти похідні функції, заданих параметрично:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Знайти похідні функцій, заданих неявно:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
