Питання для самоконтролю
що називається диференціальним рівнянням?
що називається розв’язком диференціального рівняння?
що називається порядком диференціального рівняння?
що називається степенем диференціального рівняння?
що називається частинним розв’язком диференціального рівняння?
що називається загальним розв’язком диференціального рівняння?
як розв’язуються рівняння в залежності від виду?
Формула і ряд Тейлора та їх застосування
Якщо функція
в деякому околі точки
має похідні до (
)-го
порядку включно, то для будь-якого
з цього околу виконується рівність
(формула Тейлора
-го
порядку)
Де
- доповняльний член формули Тейлора,
який у формі Лагранжа має вигляд:
При =0 формула називається формулою Маклорена і тоді
Для основних елементарних
функцій формули Тейлора мають вигляд:
Вправи
Розкласти многочлен =
по степенях двочлена (
)Розкласти многочлен =
по степенях двочлена (
).Розкласти многочлен =
по степенях двочлена (
)Розкласти ф-цію =
за формулою Маклорена в т.
=0.Розкласти функцію =
по степенях (
)
до члена 0(
)
,
та написати залишковий член у формі
Лагранжа.Написати формулу Тейлора для функції =
у точці
=2
до 0(
)
,
.Розкласти функцію =
за формулою Маклорена в точці
=0
до 0
,
.Написати ф-лу Тейлора для функції =
у точці
=1.Написати формулу Маклорена для функції =
у точці
=0
до
,
.=
у точці
=0
та записати залишкові члени до неї.Застосовуючи формулу Тейлора, обчислити з точністю до 10
:
1)
2)
3)
4)
12. Знайти формулу загального члену ряду:
а) 2+4+8+16+.....; б)
в)
г)
д)
е)
є)
.
Дослідити на збіжність ряд за допомогою ознаки Даламбера:
13.
14.
15.
. 16.
17
. 18.
19
21.
.
22.
.23.
.
24.
. 25.
26.
27.
.
28.
.30
Дослідити на збіжність знакозмінний ряд:
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
Знайти радіус збіжності степеневого ряду:
35.
36.
37.
38.
.
Питання для самоконтролю
дати означення числового ряду
дати означення степеневого ряду.
які ряди називаються збіжними?
що називають сумою збіжного ряду?
які ряди називають розбіжними?
сформулюйте ознаку Деламбера?
якій ряд називають знакозмінним?
як знайти область збіжності степеневого ряду?
як знайти область збіжності функціонального ряду?
Рекомендована література
Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельєва Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: Высш. шк., 1982.-Ч.1,2.
Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1975.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. – М.: Наука, 1978.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебри и аналитической геометри. – М.: Наука, 1980, 1984.
Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1978.
Борисенко В.О., Ковальчук Т. В., Левчук В. В., Мартиненко В. С. . Конспект з лекцій з курсу „Вища математика”. Тема: „Диференціальне числення функції однієї змінної” для студентів перших курсів усіх форм навчання. . - К.: КДТЕУ, 1994.
Борисенко В.О., Левчук В. В., Мартиненко В. С. Конспект з лекцій з курсу „Вища математика”. Тема: „Дослідження функцій за допомогою похідних” для студентів перших курсів усіх форм навчання. . - К.: КДТЕУ, 1994.
Мартиненко В. С., Білоусова С. В., Борисенко В.О., Ковальчук Т. В., Левчук В. В. „Елементи лінійної алгебри”. – К.: КДТЕУ, 1999.
Для нотаток