Обчислення площ

Нехай на відрізку осі ОХ задано неперервну функцію . Фігуру обмежену графіком функції , відрізком та прямими , , називається криволінійною трапецією.

Площа криволінійної трапеції

Якщо відрізок належить осі . То площа криволінійної трапеції .

Вправи

Обчислити площу фігури, обмежену лініями.

1.y=cosx; y=0; x=0; 2.y=1+sinx; y=0; x=0; x=

3.y=4 - x ; y=0. 4. x =4y.

5.y =x ; x=2. 6.y=-(x-1) ; x=0; y=0.

7. y=0; x=2; x=4. 8. y=7-x.

9. y=4-x . 10.

11.xy=6; x+y-7=0. 12. x=1.

13. y=3; x=1.

14. Знайдіть пощу фігури, обмежену лініями ; та дотичної параболи, проведеної через її точку з абсцисою .

15. Знайдіть площу кожної з фігур, на які пряма ділить фігуру, обмежену лініями і .

Об’єм тіла обертання

1. Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ криволінійної трапеції, що обмежена графіком функції ,прямими , та віссю ОХ , обчислюється за формулою:

2. Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі , криволінійної трапеції, що обмежена графіком функції , прямими , та віссю , обчислюється за формулою

Вправи

Обчислити об’єм тіла, отриманого обертанням фігури Ф навколо вказаної осі координат, якщо фігура Ф обмежена лініями;

1. , ОХ 2. , y=0, ОХ

3. , , ОХ 4. , ОХ

5. y=0 6. .

7. y=0; ; ; ОХ 8. , ОХ

9. y=0; ОХ 10. ОХ

11. ОХ 12. ; ОХ

13. ; 14. ; ОХ

15.

Обчислення довжини дуги кривої

Нехай АВ кривої задана рівнянням , де - неперервна та диференційована функція. Тоді довжина дуги АВ:

Вправи

Обчислити довжину дуги кривої:

1. обмежену прямою

2. обмежену прямою

3. обмежену віссю ОХ

4. обмежену прямою

5. від до

6. обмежену прямою

7. від до

8. від до

Питання для самоконтролю

1. дайте означення визначного інтеграла функції на заданому відрізку

2. який геометричний зміст визначеного інтегралу?

3. які властивості возначеного інтеграла?

4. як обчислюють визначений інтеграл?

5. як вводиться заміна змінноїу визначеному інтегралі?

6. як інтегрується частинами визначений інтеграл?

7. які дві схеми застосування визначеного інтеграла?

8. як обчислюються площі і об’єми фігур за допомогою інтеграла?

Диференціальні рівняння

Диференційні рівняння першого порядку

Диференціальним рівнянням називається рівняння , яке містить незалежну змінну, шукану функцію та її похідні або диференціали.

Розв’язком диференціального рівняння називається функція у=f(х), яка при підстановці її та її похідних в диференціальне рівняння перетворює це рівняння у тотожність

Диференціальне рівняння вигляду М(х)N(y)dx +P(x)Q(y)dy=0 називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними. М(х), N(y), P(x), Q(y) – неперервні функції при значеннях х і у, які ми розглядаємо, N(y)≠0 P(x)≠0.

Для розв’язання диференціального рівняння з відокремлюваними змінними треба відокремити змінні, тобто утворити коефіцієнти при dx, що залежать тільки від х, коефіцієнт при dy,що залежать тільки від у.

Тобто . Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними буде розв’язане, якщо відома функція, похідна від якої є в даному рівнянні.