- •Заступник директора з розглянуто
- •Пояснювальна записка
- •Тематичний план
- •Визначник
- •Властивості визначників
- •Система лінійних рівнянь
- •Питання для самоконтролю.
- •Векторна алгебра Додавання векторів. Множення вектора на скаляр
- •Прямокутні координати вектора в просторі
- •Скалярний добуток двох векторів
- •Векторний добуток векторів
- •Рівняння прямої у просторі
- •Пряма на площині
- •Питання для самоконтролю.
- •Криві іі-го порядку
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Питання для самоконтролю.
- •Вступ до аналізу Комплексні числа
- •Питання для самоконтролю
- •Змінні величини і функції
- •Границі послідовності та функції. Нескінченно малі та нескінченно великі
- •Границя відношення при
- •Порівняння нескінченно малих функцій
- •Неперервність функції
- •Асимптоти
- •Геометричний і механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до графіків функції
- •Диференціал функції
- •Похідні і диференціали вищих порядків
- •Застосування похідних до дослідження функцій Теореми про середнє значення
- •Правило Лопіталя
- •Зростання і спадання функції. Екстремум.
- •Необхідна умова існування екстремуму.
- •Достатні умови існування екстремуму.
- •Питання для самоконтролю
- •Інтегрування підстановкою та безпосередньо
- •Інтегрування по частинах
- •Інтеграли виду Вправи
- •Інтегрування раціональних алгебраїчних функцій
- •Інтегрування дуяких ірраціональних алгебраїчних функцій
- •Інтегрування тригонометрчних функцій
- •Питання для самоконтролю
- •Визначений інтеграл
- •Обчислення площ
- •Об’єм тіла обертання
- •Обчислення довжини дуги кривої
- •Питання для самоконтролю
- •Диференційні рівняння першого порядку
- •Однорідні диференційні рівняння першого порядку
- •Лінійні диференційні рівняння першого порядку
- •Лінійні диференційні рівняння другого порядку
- •Питання для самоконтролю
- •Формула і ряд Тейлора та їх застосування
- •Питання для самоконтролю
- •Рекомендована література
Застосування похідних до дослідження функцій Теореми про середнє значення
Дослідження функцій за допомогою похідних ґрунтується на деяких основних теоремах диференціального числення.
Теорема Лагранжа. Нехай функція задовольняє умовам: 1) неперервна на 2) диференційована на ( ). Тоді існує точка така, що . Ця формула називається формулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів.
Теорема Коші. Нехай функція і задовольняють умовам: 1) і неперервні на 2) і диференційовані на ( ); 3) в усіх точках . Тоді існує точка така, що . Ця формула називається формулою Коші.
Вправи
Для функції записати формулу Лагранжа на відрізку і визначити значення :
1) , [0;1]; 2) , [1;2].
записати формулу Коші для функцій:
1) і = на відрізку [1;2];
2) і = на відрізку [ ].
Визначити значення .
Довести, що рівняння має лише один дійсний корінь.
Довести, що рівняння , яке має корінь (перевірте), не має інших дійсних коренів.
Правило Лопіталя
Найбільш простим і ефективним методом розкриття невизначеностей є правило Лопіталя.
Нехай функції і :
1) диференційовані в деякому околі точки а за винятком, можливо, самої точки а, причому у цьому околі; 2) одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими в точці а;
3) існує (можливо, нескінченна). Тоді існує , причому .
Правила Лопіталя діють також при , , і у випадках однобічних границь. Вони дозволяють розкривати невизначеності типу і .
Правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів.
Вправи
Застосовуючи правило Лопіталя, обчислити границі:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10)
Невизначеності типів і шляхом простих алгебраїчних перетворень зводяться спочатку до типів і , до яких і застосовується правило Лопіталя.
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17) 18)
Невизначеність типів , які зустрічаються при обчисленні границь функцій вигляду зводяться до невизначеності типу .
19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
Зростання і спадання функції. Екстремум.
Якщо для всіх , то функція зростає (спадає) на .
Функція в точці має максимум (мінімум), якщо існує такий окіл 0 точки , що для всіх з цього околу
Максимум (мінімум) функції в точці називається екстремум функції в цій точці, а сама точка - точкою екстремуму.
Точки , в яких , називаються стаціонарними,а разом з точками, де функція недиференційована (але неперервна) – критичними точками функції.
Необхідна умова існування екстремуму.
Якщо функція має екстремум у точці , то ця точка є критичною.
Достатні умови існування екстремуму.
Нехай функція диференційована в деякому околі точки , окрім, можливо, самої точки , в якій функція неперервна.
Якщо при переході аргументу через точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то функція в цій точці має максимум; якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то функція має мінімум.
Нехай функція двічі диференційована і . Тоді в точці функція має максимум, якщо і мінімум, якщо .
Вправи
Знайти проміжки зростання і спадання функцій:
1) 2) 3) 4) 5) 6)
7) 8) 9) 10) 11) 12)
13) 14)
Визначити екстремуми функцій:
1) 2) 3) ; 4) 5) 6)
7) 8) 9) ; 10) 11) 12)
13) 14) 15)
16) 17) 18)
19) 20)
Розв’язати задачі:
З бляшаного круга радіуса R вирізають сектор з центральним кутом із нього скручують конічну лійку. При якому значені кута об’єм лійки буде найбільшим?
Якою повинна бути висота конуса, вписаного в кулю радіуса R, щоб його бокова поверхня була найбільшою?
Серед прямокутників з даним периметром найти такий, площа якого найбільша.
На сторінці книги друкований текст повинен займати 432 см . Поля зверху і знизу повинні бути по 2 см, а справа і зліва по 1,5 см. Обчислити най економніші розміри паперу.(21 см; 28 см).
Знайти висоту прямого кругового конусу найменшого об’єму, який описаний навколо кулі радіусом R. (8 R).