Гіпербола.

Гіперболою називається геометричне місце точок на площині, для кожної з яких, різниця віддалей до двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є величина стала і рівна 2а. Причому, якщо с – фокусна відстань (відстань від початку координат до фокуса), а а – дійсна піввісь, то необхідно, щоб а < c. Точки називаються вершинами гіперболи.

. Це канонічне рівняння гіперболи, де b ² = с ²– а ²

2а – дійсна вісь гіперболи,

2b – уявна вісь гіперболи,

2с – фокусна відстань,

Точки А(-а;0) В (-а;0) – вершини гіперболи

– рівняння асимптот гіперболи.

Парабола.

К рива називається параболою. Точка вершина параболи, а число р – параметр. Пряма є віссю симетрії параболи.

Параболою називається геометричне місце точок на площині,рівновіддалених від точки,яка називається фокусом, і прямої, яка називається директрисою. Якщо вершина параболи є в початку координат, то маємо рівняння

Причому р, як правило, вважають

додатним (цього можна досягти,

вибираючи напрям осі ОХ).

фокус параболи, рівняння директриси.Рівняння параболи симетричної відносно осі ОУ має вигляд

Вправи

1. Відстань до прямої х = 9 в чотири рази менше ніж до точки А (-1; 2).

2. Відстані до точок А (2; -4) і В (3; 5) відносяться як 2:3.

3. Сума квадратів відстаней до точок А (-3; 3) і В (4; 1) дорівнює 31.

4. Відстань до точки А (0; -5) в 2 рази менше ніж до прямої х = 3.

5. Відстань до точки А (4; -2) в два рази менше ніж до точки В (1; 6).

6. Відстань до прямої х = -7 в 3 рази менша ніж до точки А (1; 4).

7. Відстань до точки А (1; 5) в 4 рази менша ніж до прямої х= 1.

8. Відстань до точки А (4; 0) в два рази більша ніж до точки В (1; 0).

9. Відстань до точки А (0; 2) дорівнює відстані до прямої у - 4 = 0.

10. Відстань до точки С (2; 0) дорівнює відстані до прямої х=4.

Питання для самоконтролю.

1. що називається кривою другого порядку?

2. назвіть основні види кривих , та їх основні характеристики?

3. які канонічні рівняння кривих другого порядку?

4. що називається ексцентритетом еліпса, гіперболи?

Вступ до аналізу Комплексні числа

Комплексним числом називається вираз z = a + bi, де a та b – дійсні числа, а символ і – уявна одиниця, яка називається умовою і = -1. При цьому число а називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається а =Rez, a b – уявною частиною z, b=Im z ( від французьких слів: reel – дійсний, imaginaire – уявний).

Вираз, що стоїть справа у формулі називається алгебраїчною формою запису комплексного числа.

Два комплексні числа z = a + bi i = a – bi, які відрізняються лише знаком уявної частини, називаються спряженими.

Два комплексні числа i вважаються рівними ( ) тоді і тільки тоді, коли рівні їхні дійсні частини і рівні їхні уявні частини: .

Комплексне число z = a +bi дорівнює нулю (z=a + bi =0) тоді і тільки тоді, коли a = b =0.

Комплексні числа можна зображати на площині. Якщо користуватись декартовою системою координат, то число зображається точкою М(a;b).Така площина умовно називається комплексною площиною змінної z, вісь Ох - дійсною віссю, а Оу – уявною.

Комплексне число z = a + bi при b = 0 збігається з дійсним числом a : z = a + 0i = a. Тому дійсні числа є окремим випадком комплексних, вони зображаються точками осі Ох.

К омплексні числа z = a +bi в яких, а = 0, називаються суто уявними; такі числа зображаються точками осі Оу.

Основні дії над комплексними числами та , заданими в алгебраїчній формі, визначаються

такими рівностями:

Розглянемо дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Нехай тоді

Отже, під множення комплексних чисел їхні модулі перемножуються, а аргументи додаються.

Це правило поширюється на довільно скінченне число множників. Зокрема, якщо всі n множників рівні, то

Ця формула називається формулою Мавра.

При діленні комплексних чисел маємо

Отже, модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника; аргумент частки дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.

Розглянемо добування кореня з комплексного числа. Якщо для даного числа треба знайти число то за означенням кореня і формулою Муавра маємо

Звідси >0 I p>0,то , де під коренем потрібно його арифметичне значення; тому

Вправи

1. Виконайте додавання даних комплексних чисел.

1) (2 + 3i) + (4 + 2i); 2) (-4 + 5і) + (3 - 2і);

3) (-7 + 6і) + (-3 - 8і); 4)(-5 - 2і) + (-6 + 8і);

5) (4 - 7і) + (4 + 7і); 6) (-3 + 2і) +(3 - 2і).

7) (-3 - 2і) + (4 - 5і) + (-8 + 6і); 8)4 +(3 – 6і) + (-7 -4і) +3і;

9) (4 – 5і)х + (-2 + 3і)у

10) (1,2 – 0,7і) + (-0,3 + 0,27і) + (-0,6 – 0,32і) – 1,4і

2. Виконайте віднімання даних комплексних чисел:

1) (4 + 3і) – (1 + 2і); 2) (-3 + 5і) – (2 – і);

3) (5 – і) – (-1 – 3і); 4) (-2 + 6і) – (2 + 9і);

5) (7 – 2і) – (7+ 2і); 6)(-3 + 5і)–(-3 + 5і).

3. Розв’яжіть рівняння:

1. (4х – 3у) + (3х + 5у)і = 10 – (3х – 2у – 30)і;

2. (2 – 7і)х + (8 + 6і)у = (-6 + 5і)х – 8;

3. (-4 – 5і)х + (1 + 4і)у = -27і + (7 – 2і)у;

4. 

4. Виконайте вказані дії:

1)(2 – 3і)(-4 +7і); 2) (5 – 6і)(-10 + 8і);

3) 4)

5) ( 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15)

5 Запишіть в тригонометричній та показниковій формах слідуючи комплексні числа:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

6. Записати в алгебраїчній та тригонометричній формах числа:

1) 2) 3) 4) 5)

7.Використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, виконайте вказані дії:

1) 2) 3) 4)

8 Виконайте множення:

1)

2)

3)