Векторний добуток векторів

Означення: Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , який:

1. має модуль, що чисельно дорівнює площі паралелограма побудованого та ;

2. перпендикулярний до площини паралелограма;

3. вектори утворюють праву трійку векторів.

Якщо та задані координатами, то

Площа паралелограма, побудованого на векторах та :

S =

Вправи

1. Знайти площу паралелограма побудованого на векторах та , якщо , .

2. Обчислити площу трикутника з вершинами А(7;3;4); В(1;0;6); С(4;5;-2).

3. Побудувати трикутник з вершинами А(1;-2;-8); В(0;0;4); С(6;2;0). Обчислити його площу і висоту BD.

Мішаний добуток двох векторів

Означення: Мішаним добутком векторів називається вираз виду ( )· .Якщо вектори задані координатами, то( )· =

Об’єм паралелепіпеда чисельно дорівнює мішаному добутку.V= abc (+ якщо вектори утворюють праву трійку, - якщо ліву).

Вправи

1. Побудувати паралелепіпед на векторах , , і обчислити його об’єм.

2. Побудувати піраміду з вершинами О(0;0;0); А(5;2;0); С(1;2;4); Д(1;-2;1) і обчислити її об’єм.

Питання для самоконтролю.

1. які вектори називають колінеарними, компланарними, рівними?

2. що називають сумою векторів?

3. що називають різницею векторів?

4. що називають добутком вектора на число?

5. як виконується дія над векторами?

6. як обчислюється об’єм піраміди, побудованої на векторах?

Аналітична геометрія

Рівняння площини

1. Рівняння площини, що проходить через точку А( ) і перпендикулярно вектору N(А; В; С):

А(х - х ) + В(y - y ) + C(z - z ) = 0

2. Загальне рівняння площини: Ax + By + Cz + D = 0

3. Кут, утворений двома площинами

,

де і - нормальні вектори до площин

та .

Умова паралельності площин: .

Умови перпендикулярності площин:

.

4. Відстань від точки до площини

Ax + By +Cz+ D = 0.

d =

Вправи

1. Записати рівняння площини, яка паралельна осі ОХ та проходить через точки М (0;1;3) та М (2;4;5).

2. Через точку М(-1;2;3) проведено площину, яка перпендикулярна ОМ. Запишіть рівняння цієї площини.

3. Записати рівняння площини, яка проходить через вісь OY та через точку М(- 4;0;4) і відтинає на осях OX та OY відрізки а = 4 та b = 3.

4. Знайти площину, яка проходить через точку А(2;2;-2) і паралельна площині x – 2y – 3z = 0.

5. Скласти рівняння площини, що проходить через точки М (4;6;1), М (1;0;-2), М (4;-2;4), привести його до загального вигляду.

6. Записати загальне рівняння площини, що проходить через точку А(2;-1;1) та перпендикулярна площинам

3x + 2y – z + 4 = 0 та x + y + z – 3 = 0

7. Знайти точку перетину площин 2x – y + 3z – 9 = 0;

x + 2y + 2z – 3 = 0 та 3x + y – 4z + 6 = 0/

Рівняння прямої у просторі

1. Канонічне рівняння прямої, що проходить через точку A(a;b;c) і паралельна вектору P(m;n;k):

.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x , y , z ) та B(x ,y ,z );

.

Вправи

1. Записати рівняння прямої, що проходить через точки А(-4;-3;0) та паралельна вектору P(-1;1;1).

2. Записати рівняння прямої, що проходить через точки А(-1;2;3) та В(2;6;-2).

3. Знайти кут між прямою x – 2z + 1 = 0; y + 2z – 1 = 0 та прямою, проходить через початок координат та через точку (1;-1;-1).

4. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку (-1;2;-2) та паралельна прямій x – y – 2 = 0, y – 2z – 1 = 0.

5. Знайти кут між прямими: x – y + z – 4 = 0, 2x + y – 2z + 5 = 0 та x + y + z + 4 = 0, 2x + 3y – z – 6 = 0.

6. Знайти відстань між паралельними прямими:

та .