Однорідні диференційні рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння Р(х,y)dx + Q(х, y)dy=0 називається однорідним, якщо функція Р(х,y)dx , Q(х, y) – однорідні однакового степеня однорідності .

Такі рівняння розв’язуються при допомозі заміни. У=Ux , де U=U(x) – диференційована функція від х. Тоді знаходять похідну, даної функції, роблять заміну і шукають саму функцію.

Лінійні диференційні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається диференційне рівняння, лінійне відносно шуканої функції та її похідної.

Лінійне диференціальне рівняння першого порядку містить у та у^, в першому степені і не містить добутку уу^, . Розв’язок лінійного рівняння шукають у вигляді добутку функцій і які підібрані спеціальним чином, так що початкове рівняння розпадається на два рівняння з відокремленими змінними.

у ^, +р(х)у=q(x). Нехай y=u·v. Тоді y^’=u^’v+v^’u підставляємо у рівняння і маємо u^’v+v^’u+ р(х)uv= q(x). В цьому рівнянні в другому і третьому доданку виносимо за дужки і дужку прирівнюємо до нуля .

Приклад . Знайти загальний інтеграл рівняння

Рішення. Розв’яжемо рівняння відносно похідної

Розділив числівник і знаменник правої частини рівняння на отримуємо , де є функція відношення (у/х.) Це означає, що дане рівняння - однорідне.

Для рішення цього рівняння введемо нову функцію

Тоді y = ux i u=y/x. Одже y=ux i Рівняння (*) перетворюється в рівняння з розділеними змінними:

або звідки Інтегруємо це рівняння, маємо Ln Звідки а саме .

Лінійні диференційні рівняння другого порядку

Лінійними диференційними рівняннями другого порядку називається диференціальне рівняння другого порядку, лінійне відносно у, у^’, у^” , тобто рівняння вигляду у^” + а₁ у^’ +а₂ у = f(х),

де права частина є деяка функція. Розв’язання таких рівнянь шукають у вигляді: у=е^кх , для даної функції знаходять похідні і підставляють у дане рівняння. Для кожного рівняння записують характеристичне рівняння. Залежно від коренів цього рівняння мають три випадки:

1. Д>0(корені дійсні, різні) тоді загальний розв’язок має вигляд у=С₁ е^{к х} + С₂ е^{к х} .

2. Д=0 (корені рівняння рівні і дійсні) тоді у= е^кх (С₁+С₂х)

3. Д<0 (корені комплексно спряжені к_1,2=а±bі ) тоді

у= е^кх (С₁соsbx+С ₂ sinbx)

Вправи

В завданнях 1 – 22 знайдіть загальний інтеграл (розв’язок) рівняння.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. . 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

Знайдіть загальний і частинний розв’язок рівняння

23. 24

25. 26.

27. 28.

29.

Приклад . Знайдіть загальний розв’язок рівняння

Рішення . Складаємо характеристичне рівняння

з якого знаходимо Характеристичне рівняння має рівні дейсні корні, тому згідно формули загальне рішення запишеться слідуючим чином :

Знайти загальний розв’язок рівняння

Рішення. Цьому рівнянню відповідає характеристичне рівняння

маємо два комплексних сопряженних корня

Використовуя формулу при і отримаємо загальне рішення

Знайти загальний розв’язок рівняння

Рішення. Характеристичне рівняння має два комплексно сопряженних корня

По формулі (5) при і отримаємо загальний розв’язок

30. 31.

32. 33.

34. 35.

36. 37.

38. 39.

.Знайти частинний розв’язок рівняння що задовольняє заданим начальним умовам у(0) = 1,

Рішення. Запишемо характерне рівняння його корені Відповідно, загальне рішення має вид

Використовуя початкові умови, визначаємо значення постійних і . Для цього підставимо в загальне рішення задані значення х=0, у=1; в результаті отримаємо одно з рівнянь , що зв’язують і . .

Друге рівняння відносно і отримаємо слідуючим образом. Продиференціюємо загальне рішення:

і підставимо в знайдений вираз задане значення х=0,

З системи знаходимо

Відповідно, .

40.

41 .

42.

43.

44.

45.

46.

47

48.

49.

50.

51.

52.