Інтегрування дуяких ірраціональних алгебраїчних функцій
Інтеграли
,
де R(
)
– раціональна функція, знаходиться
підстановкою
,
а інтеграл більш загального вигляду
- підстановкою
.Інтеграл
знаходиться підстановкою
.Тригонометричні підстановки:
До раціонального тригонометричного вигляду приводять інтеграли
- підстановкою
.
- підстановкою
.
Вправи
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
Інтегрування тригонометрчних функцій
Інтеграли від квадратів та інших парних степенів синуса і косинуса знаходять, застосовуючи формули пониження степення:
;
;
Інтеграли від кубів та інших непарних степенів синуса і косинуса знаходять, відділяючи від непарної степені один множник і покладаючи кофункцію рівну новій змінній
.В інтегралах
застосовують формули:
В інтегралах виду
використовують підстановку:
Якщо в інтегралі , ,
містять тільки парні степені, то
використовують підстановку:
,
,
.
Вправи
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
Питання для самоконтролю
яка функція називається первісною для заданої функції на заданому проміжку?
дати означення невизначеного інтеграла від даної функції.
який геометричний зміст невизначного інтеграла?
які є прийоми знаходження простих інтегралів?
які методи інтегрування ви знаєте?
як знаходять інтеграли, які містять раціональні дроби?
як знаходять інтеграли, які містять тригонометричні вирази?
Визначений інтеграл
Нехай на відрізку
визначена функція
.
Розіб’ємо відрізок
на n частин
точками
На кожному інтервалі візьмемо
довільну точку
і утворимо суму
,
де
.
Утворена сума називається
інтегральною сумою, а її
границя при умові
,
якщо вона існує та скінчена, називаються
визначеним інтегралом від
в межах від
до
та позначається:
Функція називається інтегрованою на відрізку .
Нехай неперервна на відрізку . Тоді на цьому відрізку існує невизначений інтеграл
,
та справедлива формула
- Формула Ньютона – Лейбніца.
Вправи
Обчислити визначений інтеграл.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Обчислити визначений інтеграл з точністю до двох знаків після коми.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
