Правило лопиталя
Будем говорить, что отношение f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при xа, если limxаf(x)= limxаg(x)=0. Раскрыть эту неопредел-сть – это значит найти limxаf(x)/g(x), если он существует.
Теорема №1: Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки х=а, за исключением, быть может, самой точки a, limxаf(x)= limxаg(x)=0, g(x) и g'(x)0 в этой окрестности. Тогда, если существует limxаf'(x)/g'(x), то существует limxаf(x)/g(x) и имеет место равенство limxаf(x)/g(x)=limxаf'(x)/g'(x) {1}. Доказательство: Будем считать, что а – конечное число. (В случае а= см. ниже замечание 3.) Доопределим функции f и g в точке х=а, полагая f(a)=g(a)=0. Тогда эти функции будут непрерывны в точке а. Рассмотрим отрезок [а,х], где х>а или х<а. На [а,х] функции f и g непрерывны, а на (а,x) дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка S такая, что (f(x)–f(a))/(g(x)–g(a))=f'()/g'() (при (а,x)) или f(x)/g(x)=f'()/g'().
Когда хa и, то и a, поэтому в силу условия теоремы имеем limxаf(x)/g(x)=limаf'()/g'() =limxаf'(x)/g'(x) {2}при условии, что предел в правой части равенства существует. Этим теорема доказана. Замечания: [1] Если предел справа в {1}не существует, то предел слева может существовать.
[2] Если выражение f'(x)/g'(x) представляет неопределенность вида 0/0 г и функции f'(x), g'(х) удовлетворяют условию теоремы №1, то limxаf(x)/g(x)=limxаf'(x)/g'(x)= limxаf''(x)/g''(x)
П
ри
этом эти равенства надо понимать в том
смысле, что если существует третий
предел, то существует и второй и
первый. Теорема
№2 (/):
Пусть f
и g
определены и дифференцируемы в окрестности
точки х=a,
limxaf(х)=
limxag(х)=,
g(x)
и g'(x)0
в этой окрестности, тогда, если
limxаf'(x)/g'(x),
то
limxаf(x)/g(x).
[3]
Если а=,
то замена х=1/t
сводит дело к а=0:
Выражаемые теоремами №1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения функций может быть сведено к вычислению предела отношения их производных, наз. правилом Лопиталя по имени математика, который сформулировал это правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя.
Признаки монотонности функции Признаки возрастания и убывания функции.
Определение.
Функция
называется возрастающей
на интервале
,
если для любых точек
из этого интервала при выполнении
условия
выполняется неравенство
(большему значению аргумента соответствует
большее значение функции).
Определение.
Аналогично, функция
называется убывающей
на интервале
,
если для любых точек
из этого интервала при выполнении
условия
выполняется неравенство
(большему значению аргумента соответствует
меньшее значение функции).
Возрастающие
на интервале
и убывающие на интервале
функции называются монотонными
на интервале
.
Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.
Теорема
(достаточное условие возрастания
функции).
Если производная дифференцируемой на
интервале
функции
положительна на интервале
,
то функция
монотонно возрастает на этом интервале.
Доказательство.
Зафиксируем любые точки
на интервале
такие, что
.
Тогда
по следствию из теоремы Лагранжа
,
где
.
По условию на всем интервале
,
то есть
,
следовательно,
.
Таким образом,
действительно возрастает на
,
что и требовалось доказать.
Теорема
(достаточное условие убывания функции).
Если производная дифференцируемой на
интервале
функции
отрицательна на интервале
,
то функция
монотонно убывает на этом интервале.
Г
тупые углы, а на интервалах возрастания
– острые (см. рис. 4).
Алгоритм
нахождения интервалов монотонности
функции
.
Найти
.Найти нули производной.
На числовой оси отметить область определения , нули производной и те точки, где производная не существует.
На каждом из полученных интервалов определить знак производной
.Сделать вывод о возрастании или убывании функции
на каждом интервале.
Пример. Пусть
.
Найдем
.
Далее,
при
и при
.
Имеем, что
при
и при
,
и
при
.
Это значит, что при
и при
функция
возрастает, а при
функция убывает.