50. Полный дифференциал

Полный дифференциал функции равен сумме частных дифференциалов: .

И больше мне здесь добавить нечего.

51. Производная по направлению

Производная по направлению, определяемому вектором

52. Градиент

Определение. Вектор с координатами , , называется градиентом функции u = f (x, y, z) в точке M(x, y, z) и обозначается grad u = + + .

Под производной функции u = f (x, y, z) в данном направлении понимается выражение = cosa + cosb + cosg, где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора (рис. 43).

Рис. 43

Производная представляет собой скорость изменения функции в данном направлении.

53. Локальный экстремум

Локальный экстремум функции двух переменных

Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции

Если - точка экстремума функции f, то

и или

Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции

Обозначим

Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.

Если D > 0, A < 0, то - точка максимума.

Если D < 0, экстемума в точке нет.

Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.

Функции n переменных

Приращение функции в точке

Функция, дифференцируемая в точке

при

В этом случае дифференциал функции f в точке :

- частные производные первого порядка функции f.

54. абсолютный экстремум

а вот хз.

55. Условный экстремум

Условные экстремумы.

Пусть функция определена в некоторой области и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной .