- •Основные понятия теория множеств
- •Операции над множествами
- •Функция, ее область определения, способы задания Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Сложные и обратные функции
- •Предел функции Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •Бесконечно малые функции, их свойства Бесконечно малые величины
- •Связь бесконечно малых величин с пределами функций
- •Свойства бесконечно малых величин
- •Бесконечно большие функции Бесконечно большие величины
- •Свойства бесконечно больших величин
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
- •Сравнение бесконечно малых функций, их эквивалентность Основные эквивалентности.
- •Основные теоремы о пределах Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •Замечательные пределы Первый замечательные предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Раскрытие неопределенности
- •Непрерывность функции
- •Точки разрыва, их классификация Точки разрыва функции
- •Асимптоты
- •Производная, ее геометрический, физический, экономический смысл экономический смысл производной
- •Физический смысл производной.
- •Определение производной
- •Задача о касательной
- •Правила дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •Производные основных элементарных функций Производные основных элементарных функций (таблица производных)
- •Дифференцирование сложных функций Производная сложной функции
- •Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
- •Дифференциал функции, его свойства Понятие дифференциала и его геометрический смысл
- •Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Теорема ферма
- •Теоремы роля, коши, Лагранжа
- •Правило лопиталя
- •Признаки монотонности функции Признаки возрастания и убывания функции.
- •Экстремумы(локальные)функции
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
- •Признаки вогнутости и выпуклости графиков, точки перегиба
- •Неопределенный интерграл, свойства Понятие первообразной и неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основная таблица интегралов Некоторые табличные интегралы
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Интегрирование по частям
- •Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Интегральная сумма определенный интеграл, его геометрический смысл
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Экономический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла Свойства определенного интеграла
- •Формула ньютона-лейбница Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям и замена переменной в опр. Интеграле Методы вычисления определенного интеграла
- •Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение
- •Задача коши, теорема сущ. Единственности решения задачи коши Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Дифф. Уравнения высших порядков, их общее и частной решение,задача коши
- •.Линейные диффер. Уравнения н-ого порядка,структура решения
- •Линейные однородные дифф уравнения с постоянными коэф. Метод Эйлера Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Линейные неоднородные диф уравнения с правой частью специального вида. Метод неопр. Коэф
- •Определение функции нескольких переменных, геометрическая интерпретация в возможных случаях предел и непрерывность
- •Частное и полное приращение функции
- •Частные производные Основные понятия. Частные производные
- •Частные производные функции двух переменных
- •Полный дифференциал
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Локальный экстремум
- •Условный экстремум
Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Пусть функция определена и интегрируема на произвольном обрезке , т.е. функция определена для произвольного .
Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от непрерывной функции на полуинтервале называется предел интеграла при стремящемся к :
.
Если этот предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.
При работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:
исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.
Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.
Пример. Вычислить .
Решение. По определению Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен 1.
Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно
.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования обозначается символом
, где .
Пример. Вычислить .
Решение. .
Интеграл расходится.
В курсе теории вероятности встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона. Доказано, что .
Дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков искомой функции.
Определение. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких переменных – то уравнением в частных производных.
Рассмотрим пример. Найти первообразную , если .
Решение. Раньше мы эту задачу решали с помощью неопределенного интеграла. Однако, ее можно рассматривать как задачу о нахождении функции , удовлетворяющей уравнению . .
В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:
. (12.1)
Например: .
Определение. Дифференциальное уравнение -го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:
, (12.2)
где - некоторая функция от переменной.
Определение. Решением дифференциального уравнения (12.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Например, есть решение уравнения , т.к. .
Определение. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования этого дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Пример. Решить уравнение: .
Решение. Поскольку , то . Интегрируя левую и правую часть равенства, получим . Т.к. , то разделив переменные имеем . Интегрируя вторично, получим решение: , .
Проверка: .
Определение. Общим решением дифференциального уравнения (12.1) –го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменных и произвольных постоянных .
Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .
Например, для уравнения , где .