1. основные понятия теория множеств

2. операции над множествами

3. функция, ее область определения, способы задания

4. сложные и обратные функции

5. предел функции

6. бесконечно малые функции, их свойства

7. бесконечно большие функции

8. сравнение бесконечно малых функций, их эквивалентность

9. основные теоремы о пределах

10. замечательные пределы

11. раскрытие неопределенности

12. непрерывность функции

13. точки разрыва, их классификация

14. асимптоты

15. производная, ее геометрический, физический, экономический смысл

16. правила дифференцирования

17. производные основных элементарных функций

18. дифференцирование сложных функций

19. дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

20. дифференциал функции, его свойства

21. производные и дифференциалы высших порядков

22. теорема ферма

23. теоремы роля, коши, Лагранжа

24. правило лопиталя

25. признаки монотонности функции

26. экстремумы(локальные)функции

27. наибольшее и наименьшее значение функции

28. признаки вогнутости и выпуклости графиков, точки перегиба

29. неопределенный интерграл, свойства

30. основная таблица интегралов

31. метод непосредственного интегрирования

32. интегрирование по частям

33. замена переменной в неопределенном интеграле

34. интегральная сумма определенный интеграл, его геометрический смысл

35. свойства определенного интеграла

36. формула ньютона-лейбница

37. интегрирование по частям и замена переменной в опр. Интеграле

38. несобственные интегралы

39. дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение

40. задача коши, теорема сущ. Единственности решения задачи коши

41. уравнения с разделяющимися переменными

42. линейные уравнения первого порядка

43. дифф. Уравнения высших порядков, их общее и частной решение,задача коши

44. линейные диффер. Уравнения н-ого порядка,структура решения

45. линейные однородные дифф уравнения с постоянными коэф. Метод Эйлера

46. линейные неоднородные диф уравнения с правой частью специального вида. Метод неопр. Коэф

47. определение функции нескольких переменных, геометрическая интерпретация в возможных случаях предел и непрерывность

48. частное и полное приращение функции

49. частные производные

50. полный дифференциал

51. производная по направлению

52. градиент

53. локальный экстремум

54. абсолютный экстремум а хрен знает

55. условный экстремум

1. Основные понятия теория множеств

2. Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

3. Функция, ее область определения, способы задания Понятие функции одной переменной

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу .

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении: , где - путь, - время, - параметр.

Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то тогда говорят, что на множестве задана функция .

При этом называется независимой переменной (или аргументом), - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество - областью значений функции.

Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция вообще имеет смысл.

Способы задания функций:

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида . Этот способ наиболее часто встречается на практике.

Например, функция задана аналитически. Не следует, однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция имеет два аналитических выражения: (при ) и (при ).

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции , например, таблица логарифмов, гармонические функции и т.д.

, , .

в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: , если - иррационально.

4. Сложные и обратные функции

Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х. Если же, например, у = , u = sinx, то у = , причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin ³ 0, то есть для , где k = 0, ± 1, ± 2,...

Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С. ф. с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами: если у = f (u1), u1 = j(u2),..., uk-1 = jk-1(uk), uk = jk (x), то

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ