Экономический смысл определенного интеграла.
Пусть функция
описывает изменение производительности
некоторого производства с течением
времени. Тогда объем продукции
,
произведенной за промежуток времени
,
равен
.
Теорема (достаточное условие существования определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла Свойства определенного интеграла
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.Интеграл от алгебраической суммы 2х функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
.При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный:
.
4)
Если отрезок интегрирования разбит на
части, то интеграл на всем отрезке
равен сумме интегралов для каждой из
возникших частей:
.
5)
Если на отрезке
,
где
,
,
то и
,
т.е. обе части
неравенства можно почленно интегрировать.
6)
Теорема о
среднем. Если
функция
непрерывна на отрезке
,
то найдется такое значение
,
что
.
Т.о.
теорема о среднем утверждает, что
найдется такая точка
из отрезка
,
что площадь под кривой
равна площади прямоугольника со
сторонами
и
.
Формула ньютона-лейбница Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Пусть - непрерывная на отрезке функция, а - ее первообразная. Рассмотрим определенный интеграл
,
(10.2)
где
.
При изменении
меняется и
определенный интеграл (10.2), т.е. он
является функцией верхнего предела
интегрирования
,
которую обозначим через
:
,
(10.3)
Определение. Функция называется интегралом с переменным верхним пределом (с открытым верхним пределом).
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то функция так же непрерывна на .
Теорема 2 (о производной интеграла по верхнему пределу). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции на верхнем пределе, т.е.
.
Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на отрезке равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.
.
Значение определённого интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла.
Другими словами, Значение определённого интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции на интервале интегрирования.
Формула Ньютона-Лейбница позволяет находить определённый интеграл, обходя суммирование, при помощи первообразных функций.
Интегрирование по частям и замена переменной в опр. Интеграле Методы вычисления определенного интеграла
Теорема.
Пусть функции
,
имеют непрерывные производные на отрезке
.
Тогда
,
где
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример.
Вычислить
.
Решение.
Пусть
,
.
Тогда
(пусть
).
Можно
вывести формулу:
,
интегрируем почленно это равенство
