- •Основные понятия теория множеств
- •Операции над множествами
- •Функция, ее область определения, способы задания Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Сложные и обратные функции
- •Предел функции Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •Бесконечно малые функции, их свойства Бесконечно малые величины
- •Связь бесконечно малых величин с пределами функций
- •Свойства бесконечно малых величин
- •Бесконечно большие функции Бесконечно большие величины
- •Свойства бесконечно больших величин
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
- •Сравнение бесконечно малых функций, их эквивалентность Основные эквивалентности.
- •Основные теоремы о пределах Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •Замечательные пределы Первый замечательные предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Раскрытие неопределенности
- •Непрерывность функции
- •Точки разрыва, их классификация Точки разрыва функции
- •Асимптоты
- •Производная, ее геометрический, физический, экономический смысл экономический смысл производной
- •Физический смысл производной.
- •Определение производной
- •Задача о касательной
- •Правила дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •Производные основных элементарных функций Производные основных элементарных функций (таблица производных)
- •Дифференцирование сложных функций Производная сложной функции
- •Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
- •Дифференциал функции, его свойства Понятие дифференциала и его геометрический смысл
- •Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Теорема ферма
- •Теоремы роля, коши, Лагранжа
- •Правило лопиталя
- •Признаки монотонности функции Признаки возрастания и убывания функции.
- •Экстремумы(локальные)функции
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
- •Признаки вогнутости и выпуклости графиков, точки перегиба
- •Неопределенный интерграл, свойства Понятие первообразной и неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основная таблица интегралов Некоторые табличные интегралы
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Интегрирование по частям
- •Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Интегральная сумма определенный интеграл, его геометрический смысл
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Экономический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла Свойства определенного интеграла
- •Формула ньютона-лейбница Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям и замена переменной в опр. Интеграле Методы вычисления определенного интеграла
- •Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение
- •Задача коши, теорема сущ. Единственности решения задачи коши Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Дифф. Уравнения высших порядков, их общее и частной решение,задача коши
- •.Линейные диффер. Уравнения н-ого порядка,структура решения
- •Линейные однородные дифф уравнения с постоянными коэф. Метод Эйлера Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Линейные неоднородные диф уравнения с правой частью специального вида. Метод неопр. Коэф
- •Определение функции нескольких переменных, геометрическая интерпретация в возможных случаях предел и непрерывность
- •Частное и полное приращение функции
- •Частные производные Основные понятия. Частные производные
- •Частные производные функции двух переменных
- •Полный дифференциал
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Локальный экстремум
- •Условный экстремум
Производные основных элементарных функций Производные основных элементарных функций (таблица производных)
Производная логарифмической функции.
А) . Воспользуемся схемой нахождения производных:
1) Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .
2) Находим приращение функции .
3) Составляем отношение .
4) Находим предел этого отношения при , т.е. .
Обозначив , найдем и .
В силу непрерывности логарифмической функции, используя 3 свойство функций непрерывных в точке. (Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке - ), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа ; получим:
.
Итак, и .
Б) . Найдем , т.е.
и .
Производная показательной функции.
А) - прологарифмируем обе части равенства по основанию : . Дифференцируем или , откуда , т.е.
и .
Б) . . Итак,
и
Производная степенной функции.
, для любого . Прологарифмируем обе части равенства . Дифференцируем: , откуда , т.е:
и
Производная степенно-показательной функции.
. . Дифференцируем: .
Производная тригонометрических функций.
и
и
и
и
Дифференцирование сложных функций Производная сложной функции
Пусть задана сложная функция .
Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е.
.
□ Дадим независимой переменной х приращение Δх≠0. Тогда функция u= φ(x) и у=f(u) соответственно получат приращения Δu и Δy.
Предположим, что Δu≠0. Тогда в силу дифференцируемости функции у=f(u) можно записать где - f′(u) величина не зависящая от Δu.
На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций где - бесконечно малая величина при Δu → 0, откуда
Это равенство будет справедливо и при Δu = 0, если полагать, что α(∆u=0)=0 (т.е. доопределить таким образом функцию α(∆u) при ∆u=0).
Разделив обе части последнего равенства на Δх≠0, получим
Так как по условию функция у=φ(х) дифференцируема, то она непрерывна в точке х, следовательно, при Δх → 0 Δu → 0 и α(∆u) → 0 .
Поэтому, переходя к пределу при Δх → 0 в последнем соотношении, получаем ■
Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
Метод логарифмического дифференцирования.
Дифференцирование функций,
заданных параметрически.
Дифференциал функции, его свойства Понятие дифференциала и его геометрический смысл
Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда:
. ( 7.1)
Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:
1) - линейного относительно , т.к. ;
2) - нелинейного относительно , т.к. .
Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
. ( 7.2)
Пример. Найти приращение функции при и :
Решение. ,
Пример. Найти дифференциал функции .
Решение. По формуле (7.2.) имеем .
Определение. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
( 7.3)
Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:
( 7.4)
Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .
|
Геометрический смысл. На графике функции (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументу приращение , тогда функция получает приращение . В точке проведем касательную, образующую угол с осью . Из треугольника : . Из имеем: . Таким образом, и соответствует формуле (7.1). |
Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .