7. Бесконечно большие функции Бесконечно большие величины

Определение. Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности:

.

Свойства бесконечно больших величин

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Об отношении или разности двух бесконечно больших функций никакого общего заключения сделать нельзя. В этих случаях говорят о неопределенностях вида или . В зависимости от характера изменения бесконечно больших величин их отношение или разность может оказаться или числом, или бесконечно малой, или бесконечно большой.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при ( ), то функция является бесконечно большой при ( ). И, наоборот, если функция бесконечно большая при ( ), то функция есть величина бесконечно малая при ( ).

8. Сравнение бесконечно малых функций, их эквивалентность Основные эквивалентности.

e^x-1 – бесконечно малое при х0. lim (e^x-1)/x=1, то есть e^x-1 ~ x при x0

^x0

1-cosx – бесконечно малое при х0. lim (1-cos x)/(x²/2)=lim{2sin(2x/2)]/[x²/2]=lim [2(x/2)²]/[x²/2]=1,

то есть

1-cos(x) ~ x²/2 при х0 и (1+x)^p-1 ~ px при х0

9. Основные теоремы о пределах Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть и - функции, для которых существуют пределы при ( ): , .

Сформулируем основные теоремы о пределах:

1. Функция не может иметь более одного предела.

Предположим противное, т.е. что функция имеет 2 предела А и D, . Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при ( ). Вычитая почленно эти равенства, получим: , откуда . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства 1 бесконечно малых это величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.

.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.

.

По условию и , следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при ( ). Перемножая почленно оба равенства, получим:

.

На основании свойств бесконечно малых последние три слагаемые представляют величину, бесконечно малую при ( ).

Итак, функция представляет сумму постоянного числа и бесконечного малой . На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых с пределами функции это означает, что .

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.

, .

5. Если , , то предел сложной функции

.

6. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то

.