43. Дифф. Уравнения высших порядков, их общее и частной решение,задача коши

Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n произвольных констант C1, C2, …, Cn

Это очевидно следует из того, что неопределенный интеграл равен первообразной подынтегрального выражения плюс константа интегрирования

Так как для решения ДУ n-го порядка необходимо провести n интегрирований, то в общем решении появляется n констант интегрирования.

Частное решение ОДУ получается из общего, если константам интегрирования придать некоторые значения, определив некоторые дополнительные условия, количество которых позволяет вычислить все неопределенные константы интегрирования.

Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков

Задачу Коши для ОДУ второго порядка

можно свести к решению системы двух ДУ первого порядка, если ввести некоторую функцию

тогда и система примет вид

при начальных условиях

Аналогично, ОДУ порядка n сведется к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка.

44. .Линейные диффер. Уравнения н-ого порядка,структура решения

О: ЛДУ 2-го порядка называется ДУ 2-го порядка, линейное относительно у, у', у ", т.е.

(21.3)

Дифференциальное уравнение

(21.4)

получающееся из (21.3) при b(х) = О, называется линейным однородным ДУ 2-го порядка (ЛОДУ 2п). Если b(х)О, то уравнение называется линейным неоднородным (ЛНДУ 2п).

Из теоремы Коши следует, что при непрерывности функций в окрестности т. при уравнение (21.3) имеет в окрестности т.единственное решение.

Т. (о линейной комбинации решений): Если функциии и — решения уравнения (21.4) ,то их линейная комбинация также является его решением

Подставим функцию и ее первую и вторую производные в левую часть уравнения (21.4):

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как — решения уравнения (21.4)

О: Решения образуют фундаментальную систему решений, если определитель Вронского

на интервале

Т. (о структуре общего решения): Пусть непрерывны на Если решения уравнения (21.4) образуют фундаментальную систему решений, то является общим решением уравнения (21.4) на Проверим выполнение условий из определения общего решения. По теореме о линейной комбинации решений является решением уравнения (21.4). Возьмем начальные условия Подставляя их в для определения с1 и с2 получаем систему

(21.5)

Ее определитель является определителем Вронского, вычисленным в т. Он не равен нулю по условию теоремы, поэтому система имеет единственное решение которое может быть записано по формулам Крамера. Таким образом, выполнены оба условия определения общего решения

45. Линейные однородные дифф уравнения с постоянными коэф. Метод Эйлера Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

, (12.6)

где - некоторая функция от (одной переменной).

Понятие однородного дифференциального уравнения тесно связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени (по переменным и ), если для произвольного числа выполняется равенство:

.

Пример. Выяснить является ли однородной функция: .

Решение. Т.к. , то данная функция однородная степени 2.

Однородные дифференциальные решаются с помощью подстановки , которая приводит уравнение (12.6) к уравнению с разделяющимися переменными.

Решение: Пусть , тогда , откуда получим:

Пример. Решить уравнение .

Решение. Замена: , .

- уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные и выполним почленное интегрирование . ,

- общее решение.

Метод Эйлера

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x) переменных между узлами равномерной сетки:

где yi+1 это искомое значение функции в точке xi+1.

Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить yi+1 , если известно yi в точке хi:

Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в (6.3) в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования - формула прямоугольников по левому краю отрезка.

Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок ниже). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения (6.2) следует, что значение есть значение производной функции y(x) в точке x=xi - , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона каcательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=xi.

Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти

откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=xi. Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной. Ошибка метода Эйлера прямо пропорциональна шагу интегрирования: