14. Асимптоты

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Различают вертикальные (рис. 6.6 а), горизонтальные (рис. 6.6 б) и наклонные (рис. 6.6 в) асимптоты.

На рис. 6.6а изображена вертикальная асимптота.

На рис 6.6б – горизонтальная асимптота.

На рис. 6.6в – наклонная асимптота.

Теорема 1. В точках вертикальных асимптот (например, ) функция терпит разрыв, ее предел слева и справа от точки равен :

и (или) .

Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы

и .

Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Теорема 3. Пусть функция определена при достаточно больших и существует предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, когда . Поэтому, если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. В точке функция не определена, найдем пределы функции слева и справа от точки :

; .

Следовательно, - вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту: ; . Таким образом, - наклонная асимптота (рис. 6.7).

15. Производная, ее геометрический, физический, экономический смысл экономический смысл производной

Пусть производительность труда у=у(t) выражает количество произведенной продукции у за время t. Необходимо найти производительность труда в момент времени t0.

За период времени от количество произведенной продукции изменится от значения y0= y(t0) до значения Тогда средняя производительность труда за этот период времени Очевидно, что производительность труда в момент времени t0 можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до Таким образом, производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.

Физический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:

S

x

x₀ x

t₀ t

s(t)x(t); ∆s=∆x(t)=x(t)-x(t₀)

∆ s/∆t=[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_cp. Если ∆t0

тогда v_cpv_мнг

lim ∆s/∆t=lim[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_мнг

^{∆t0 tt}_

Определение производной

Пусть на некотором промежутке Х определена функция y=f(x). Возьмем любую точку _. Зададим аргументу х произвольное приращение ∆х ≠ 0 такое, что точка х+∆х также будет принадлежать Х. Функция получит приращение ∆у= f(x+∆х)− f(x).

Определение. Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции y=f(x) в точке х используются символы у′(х) или f′(x).

Итак, по определению, .

Если для некоторого значения х₀ выполняется условие

или ,

т.е. пределы равны бесконечности, то говорят, что в точке х₀ функция имеет бесконечную производную.

Если функция y=f(x) имеет конечную производную в каждой точке , то производную f′(x) можно рассматривать как функцию х, также определенную на Х. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.