Концептуальные проблемы при решении многокритериальных задач

Нормализация критериев является сложной концептуальной проблемой. Она возникает во всех векторных задачах оптимизации, в которых критерии оптимальности имеют различие в единицы измерения.

Большинство применяемых способов нормализации основывается на введении понятия идеальной альтернативы (оценки), представляемого вектором идеальных значений критериев .

С помощью вектора вектор критериев Y приводится к безразмерной (нормированной) форме.

В этом случае (при невидном условии, что все ).

Успешное решение проблемы нормализации во многом зависит от того, насколько правильно и объективно удается определить “идеальное” качество решений.

Способ выбора идеального вектора определяет и способ нормализации. Рассмотрим некоторые из наиболее часто предлагаемых способов.

Способ 1: Здесь идеальный вектор качества определяется заданием величинами критериев, т.е.

Недостатками этого способа является сложность и субъективность назначения , что приводит к субъективности оптимального решения.

Способ 2: Здесь в качестве идеального вектора применяется вектор, компонентами которого являются максимально возможные значения локальных критериев, т.е.

… ), недостатком такого способа нормализации является то, что он существенно зависит от максимально возможного уровня критериев, предъявляемых уровнями задачи.

В результате равноправие критериев нарушается и предпочтение автоматически отдается критерию с наибольшей величиной локального критерия.

Способ 3: Здесь в качестве компонент принимается максимально возможный разброс соответствующего локального критерия, а именно: - ).

7.2.3. Принципы компромисса

Пусть имеется двумерный критерий:

Пусть множество решений м.б. представлено в виде закрытого интервала [a,b].

Графики применения составляющих оценок и имеют вид:

x

a c d e f b

Допустим, что идеальным было бы решение, обеспечивающее одновременно мах по и по :

Формально область компромисса можно определить в виде множества:

для всех i j, i , , .

Где I- множество порядковых номеров критериев, составляющих векторный критерий Y; X- допустимое множество решений.

Принцип равномерности.

Принцип равномерности в общем случае состоит в стремлении к равномерному и гармоническому повышению качества операции по всем локальным критериям. Данный принцип имеет несколько разновидностей:

а) Принцип равенства. Здесь наилучшим решением считается такое, при котором достигается равенство всех локальных критериев: .

Этот принцип чрезмерно жесткий и, как правило, может не делать оптимальных решений, т.к. данное условие не обязательно выполняется на область возможных решений Х.

б) Принцип максимума. Здесь идея равномерности проявляется в стремлении повышать уровень всех критериев за счет максимального “подтягивания” наихудшего из критериев (имеющего наименьшее значение): .

_абс=(4-2)+(6-9)=2-3=-1<0,  k⁰ лучше k^-1

2) Принцип относительной уступки: справедливым является компромисс, при котором суммарный относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не > суммарного относительного уровня приращения остальных критериев:

, где _i- абсолютная уступка,

- значение критерия i в базовой точке.

Если при переходе из одной точки в другую _отн>0, то  ищем точку, где _отн 0.

Пример:

лучше k⁰

Т.о.: - мультипликативная свертка.

3) Принцип последовательной уступки (лексикографический принцип): имеется векторный критерий (k₁, k₂,….k_n)- критерии упорядочения по важности:

1. Находим решение: , ЛПР может пойти на уступку: ₁x, м. меняться от а до в.

2. Находим решение: , при условии: .

3. Находим решение: , при условии: .

и т.д.

Если уступка очень мала, то решаем однокритериальную задачу по самому важному критерию. Если  велика, то решаем однокритериальную задачу по наименее важному критерию.

Пусть найдено Q₁, будем повышать ₁ и смотрим, как меняется k₂ , берем ₁ соответствующее насыщению. Затем исследуем k₃(₂) и т.д.