6.4. Размытые (нечеткие) множества

Размытые множества определяются как отображение множества M на единичный интервал. Если на этом множестве имеется некоторое размытое множество А, то это множество задается с помощью принадлежности: .

Возьмем для примера множество русских писателей (M).

Тургенев, Пушкин, Толстой, Достоевский, Короленко, Салтыков-Щедрин.

Выделим великих русских писателей (А)

Эти числа будут размытыми.

Носителем нечеткого множества А называется множество таких точек M, для которых величина положительна.

Высотой нечеткого множества А называется величина

Точкой перехода нечеткого множества А называется такой элемент множества И, степень принадлежности которого множеству А равна 0,5

В том случае, когда элементы множества непрерывные

Основные операции над нечеткими множествами:

1. Операция эквивалентности:

Два нечетких множества А и В являются эквивалентными, тогда когда для элементов этих множеств имеет место эквивалентность функций принадлежности.

_А (М) = _В (М)

2.Операция включения:

Размытое множество А включено в размытое множество В(АВ) тогда когда функция принадлежности А включена в функцию принадлежности В:

_А (М) _В (М)

3. Операция дополнения размытого множества:

Это нечеткое множество, определяемое функцией принадлежности:

_А (М) = 1- _А (М)

4.Операция объединения:

Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:

_АВ (М) = max(_А (М),_В (М))

АВ=_АВ(u)/u

5.Операция пересечения:

Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:

m_АВ (М) = min(m_А (М),m_В (М))

АВ=_АВ(u)/u

6.Операция сложения (алгебраическая сумма нечетких множеств):

Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:

m_АВ (М) = m_А (M)+m_В (М)-_A(M)*_B(M)

7.Операция умножения (произведение нечетких множеств):

Это нечеткое множество представляется функцией принадлежности вида:

m_АВ (М) = m_А (M)*m_В (М)

АВ=_А(u)* m_В (u)/u

8.Декартово произведение над нечеткими множествами:

М1

М2

Разные исходные пространства

А1

А2

Разные нечеткие множества

Можем рассматривать М1xМ2x…, а можем и А1 x А2 x…, т.е.

_А1xА2x…(М1xМ2x…)=min(_А1(М),_А2(М),…)

Пример:

Пусть базовое множество включает числа от 1 до 10, т.е. М=(1,10).

На нем рассматриваются 2 разных множества:

А=0.8/3+1/5+0.6/6

В=0.7/3+1/4+0.5/5

1. Операция дополнения:

_А (М) =1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

2. Операция объединения:

АВ=0.8/3+1/5+1/4+0.6/6

3. Операция пересечения:

АВ=0.7/3+0.5/6

4. Операция умножения:

А*В=0.56/3+0.3/6

Пример декартова произведения нечетких множеств:

Пусть существует 2 базовых множества: М1=(3,5,7) и М2=(1,2,4). Найти декартово произведение.

А1=0.5/3+ 1/5+ 0.6/7 А2=0.3/1+ 0.7/2

А1*А2={0.3/(3,1)+ 0.3/(5,1)+ 0.3/(7,1)+ 0.5/(3,2)+ 0.7/(5,2)+…}

Как получить ?

_мол(M)=_мол(люди(возраст))

М={Иванов, Петров, …}

Молодой

Старый

Лет

Расстояния между разными нечеткими множествами ищутся при помощи функций принадлежности:

Пусть А и В - нечеткие подмножества универсального множества Е.

При вводе понятия «расстояние» предъявляются следующие требования:

1. (А, В)>=0

2. (А, В)= (В, А)

3. (А, В)< (А, С)+ (С, В)

Тогда расстояния определяются по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние): (А, В)=_А(х_i)* _В(х_i), т.е. (А, В)[0,n]

Евклидово или квадратичное расстояние: (А, В)=( _А(х_i)- _В(х_i))² , (А, В) [0,n] и т.д.