Имитационный анализ и синтез математических моделей

Цель : Разработка метода имитационного анализа и синтеза , обеспечивающего автоматизированное построение математических моделей.

Проектирование – это творческий процесс, который заключается в процессе разрешения противоречий с помощью сбора и поиска информации. Также его можно определить, как процесс формализации предметной области.

Пример противоречий: на истребителе требуется установить двигатели и пушки как можно ближе к центру, чтобы уменьшить вращательный момент. Однако пороховые газы приведут двигатели к поломке, если пушки будут находиться близко к двигателям.

Формализация – искусство перехода от бесконечного (предметной области) к конечному (математической модели).

Математической моделью называют тройку где X – множество объектов, F – множество отображений, O – множество ограничений.

Процесс вывода проекта делится на проектирование, производство и испытания. При этом максимум интеллектуальных затрат приходится на проектирование, максимум стоимости – на испытания. Максимум произведения интеллектуальных затрат на стоимость приходится на проектирование математических моделей, поэтому оно имеет наибольшее значение.

Временные затраты на проектирование:

черчение	25%
вычисления	2%
сбор информации	53%
остальные работы	20%

Разработкой моделей занимаются проектировщик, который вырабатывает модель выполнения технических требований, и конструктор, который занимается чертежами.

Проектирование разбивается на два этапа: внешний и внутренний. На внешнем этапе решаются вопросы разработки модели, применения объекта, модели жизненного цикла, в конце этого этапа получается облик изделия.

Облик – совокупность состава частей и их основных характеристик.

Конструктор на основе опыта, знаний и исходных данных создаёт формальное описание и проектную документацию, между которыми существует изоморфизм.

Концептуальная схема – множество моделей ,которые может разработать проектировщик.

Концептуальное описание – конкретная реализация концептуальной схемы.

Конструктор ‘П’ осуществляет процесс сведения своего КО к КС.

Так как формальное описание и проектная документация – это конечные результаты, они должны быть изоморфны между собой. Поэтому задача автоматизации процесса проектирования сводится к автоматизации получения формального описания. Для этого нужно погрузить процесс проектирования в ЭВМ.

Конструктор ‘П’ должен , общаясь с ЭВМ через программу ‘Pz’ на языке ‘L’,и обращаясь к базе ,называемой Концептуальной Схемой , получить Концептуальное описание.

Два принципа разума:

• Принцип уникальности (простых идей): сложные машины строятся на основепростых. Простые идеи единственны независимо от разума.

• Принцип экономности мышления: разум способен выделить основную причину.

Язык теории

Алфавит

Для строгости изложения свойств составляющих понятия используем язык математических основания. В качестве такого языка выбран язык расширенного исчисления предикатов первого порядка. Введем в язык исчисления предикатов первого порядка сорта S в соответствии с выбором состава π.

Определение 9. Многосортный язык первого порядка L(S) состоит из следующих символов:

1. Константы:

   1. Индивидные константы К0 , К1 ,…, Кi ,… (i = 0, 1 , 2, ….), причем каждой константе Кi приписан сорт s Є S.

   2. Предикатные константы Р0 , Р1 ,…, Рi ,…, причем каждой константе приписано целое число n ≥ 0 (число аргументов) и сорта s1 , s2 ,…, sn. Будем говорить, что предикатная константа Рi имеет тип (n; s1 , s2 ,…, sn ).

   3. Функциональные константы f0 , f1 ,…, fi ,…, ,…, причем каждой константе приписано целое число n ≥ 0 (число аргументов) и сорта s1 , s2 ,…, sn (сорт возвращаемого значения). Будем говорить, что предикатная константа fi имеет тип (n; f1 , f2 ,…, fn ).

2. Переменные.

1. Свободнык переменные сорта s для каждого s Є S :

, ,…, , …

2. Связанные переменные сорта s для каждого s Є S :

, ,…, , …

3. Логические символы Ͻ, ˥.

4. Вспомогательные символы: (и) – круглые скобки, [и] – квадратные скобки, «,» - запятая.

Терм

Терм наименьшая единица в предложении

2. Константа - есть терм;

3. Переменная - есть терм;

4. Если f – есть n-местный функциональный символ и t1,t2,…,tn термы, то f(t1,t2,…,tn) – есть терм;

5. Никаких термов, кроме порожденных, указан. правилами нет.

Формула

Предложение в языке L(s) называется формулой

ППФ (правильно построенная формула WFF) – определяется рекурсивно.

1. Атом (терм) – есть формула;

2. Если F и G – формулы, то F v G, F & G, ~F, F→G – формулы;

3. Если F формула и x – связанная переменная в F, то ( x) F(x) и ( x) F(x) – формулы;

4. Формулы порождаются только конечным числом применений правил 1,2,3.

Теория идеализированного объекта

Определение понятия теории.

Опр. Теорией структуры U данной сигнатуры ∑ называется множество предложений выводимых на структуре U

Th(U)={A:|A|=U}

Сигнатура обозначает операции, которые можно делать на структуре.

∑={P,F}, где P – множество предикатов, F – множество функций.[1]

Введенные определения позволяют перейти к формализации составляющих π, которые выполняются в виде нелогических аксиом:

A={A_i|i=1,2,…,14}

Аксиомы теории идеализированного объекта:

1. Для вещественного предмета X⁰₀ свойство X³₀, которым он обладает. A₁: ( X⁰₀)( X³₀)P₀(X⁰₀,X³₀)

2. Для вещественного предмета X⁰₀ качество X⁴₀, которым он обладает. A₂: ( X⁰₀)( X⁴₀)P₁(X⁰₀,X⁴₀)

3. свойство X³₀ характеризуется P₂ параметром X⁸₀

A₃: ( X³₀)( X⁸₀)P₂(X³₀,X⁸₀)

4. качество X³₀ характеризуется P₃ параметром X⁸₀

A₄: ( X⁴₀)( X⁸₀)P₃(X⁴₀,X⁸₀)

5. Для параметра X⁸₀ значение X¹⁰₀, которым он обладает

A₅: ( X⁸₀)( X¹⁰₀)P₄(X⁸₀,X¹⁰₀)

6. Для параметра X⁸₀ минимальное значение X¹⁰₀, которым он обладает

A₆: ( X⁸₀)( X¹⁰₀)P₅(X⁸₀,X¹⁰₀)

7. Для параметра X⁸₀ максимальное значение X¹⁰₀, которым он обладает

A₇: ( X⁸₀)( X¹⁰₀)P₆(X⁸₀,X¹⁰₀)

8. A₈: ( X⁰₀)( X³₀)( X⁴₀)

[P₀(X⁰₀,X³₀)˄P₁(X⁰₀,X⁴₀)

( X⁵₀)[P₇(X⁵₀,X³₀)˄P₈(X⁵₀,X⁴₀)]], где P₇ и P₈ – решающее правило.

Если предмет X⁰₀ обладает свойством и правило, то решающее правило, которое обладает свойством и качеством.

9. Факт существования решающего правила функции выполняет проверку ограничений на значения параметров свойств и рассчитывает значения параметров качества.

A₉: ( X⁵₀)( X³₀)( X⁴₀)( X⁸₀)( X⁸₁)

[P₇(X⁵₀,X³₀)˄P₈(X⁵₀,X⁴₀)˄P₂(X³₀,X⁸₀)˄P₃(X⁴₀,X⁸₁)

( X⁷₀)[P₉(X⁵₀,X⁷₀)˄P₁₀(X⁷₀,X⁸₀)˄P₁₀(X⁷₀,X⁸₁)]]

10. Аксиома Яновской

Любые предметы взаимодействует, если это подтверждается соответствующими им свойствами.

P₁₁ – равноценность свойств предметов

P₁₂ – отношение взаимодействия предметов

A₁₀: ( X⁰₀)( X⁰₁)( X³₀)( X³₁)

[P₁₁(X³₀,X³₁)˄P₀(X⁰₀,X³₀)˄P₀(X⁰₁,X³₁) P₁₂(X⁰₀,X⁰₁)]

11. Целое обладает свойством, которого нет у частей.

P₁₃ – вхождение части в целое

P₁₄ – отношение принадлежности связи свойств свойства

A₁₁: ( X⁰₀)( X⁰₁) ( X⁰₂)

[P₁₃(X⁰₀,X⁰₁)˄P₁₃(X⁰₀,X⁰₂)˄P₁₂(X⁰₁,X⁰₂)

( X³₀)( X³₁)( X³₂)( X⁰₆)

[P₀(X⁰₀,X³₀)˄P₀(X⁰₁,X³₀)˄P₀(X⁰₂,X³₂)˄P₁₄(X⁶₀,X³₀)˄P₁₄(X⁶₀,X³₁)˄P₁₄(X⁶₀,X³₂)]]

12. Равенство свойств подтверждается равенством параметров.

13. Любую связь свойств реализует функция.

5. Для любой функции существует алгоритм.

Семантический процессор

Регулярные структуры

Определение 9.1. Комбинаторной регулярностью Sr назовем совокупность отношений, введенных на структуре Ü.

Объединение элементов множества U в соответствии с Sr позволяем порождать конфигурации семантических сетей. Конфигурации определяются составом ms, входящих в нее элементов, и структурой соединений между вершинами семантической сети.

Конфигурации, удовлетворяющие Sr, образуют синтаксически регулярное множество G(Sr).

Определение 9.2 /10/. Будем говорить, что при заданном множестве элементов ms и двух системах комбинаторной регулярности Sr1 и Sr2 структурная сложность конфигураций Sc1, регулярных в смысле Sr1, больше структурной сложности конфигураций Sc2, регулярных в смысле Sr2, если G(Sr1) G(Sr2).

Определение 9.З. Множество отображений : U U образует множество преобразовании подобия, если:

1. Множество есть полугруппа с единицей относительно композиции преобразовании;

2. Любое отображает U_i в себя при любом i = 1,..,10.

3. Множество может влиять на U₁₀ (значения параметров).

Правило идентификации

Обозначим далее G(Sr) =(U, ,Sr). Определим частичный порядок на G(Sr) следующими условиями: если для двух конфигураций C₁ и С₂: ms(C₁)  ms(C₂) и (С₁)  (C₂), то С₁  С₂.

Определение 9.4. /10/. Отношение  между конфигурациями из G(Sr) есть правило идентификации, если;

а)  является отношением эквивалентности;

б) если С₁  С₂, то ms(C₁) = ms(C₂), (С₁) = (C₂);

в) если С₁  С₂, то (С₁)  (С₂) для любого   ;

г) если C = C₁C₂ и C’ = C₁’C₂’ регулярны и С₁  С₁’, С₂  С₂’, то С  С’.

Классы эквивалентности - изображения КС

Совокупность всех сменных классов множества КС по эквивалентности  образует алгебру изображений и обозначается Г = G(Sr) / .

Семантически регулярные конфигурации

Из всего множества классов выбираем для рассмотрения класс изображений КС, топологически вложимых в J (идеализированный объект). Это приводит к тому, что изображения можно формировать при помощи селектора прототипа pt, ставящего в соответствие каждой конфигурации ее прототип рt(С). Для получения прототипа должен индуцироваться некоторый гомеоморфизм h:{J} Gs, который будем называть семантической регулярностью. Это возможно, так как выбранная топология Тор непрерывна. Множество Gs является семантически регулярным. Прототип pt(C) = hC (прототип конфигурации строится по начальным введенныс вами элементам конфигурации)

Семантика предложений

Процесс синтеза КС в диалоге конструктора П с М может происходить при "понимании" программой Pz предложении языка Lв.

Определение 9.5. Реакцию q  Q программы Рz на вход lWFF назовем семантикой sem(l).

Определение 9.6. Текстом Тext будем называть множество предложений lWFF, представляющих КС. Text = { l₁ l₂ … l_n | l_i  WFF, i = 1,…,n}.

Сингулярные конфигурации

Каждое предложение выражает соединение в семантической сети, возможно с добавлением вершины. Конфигурация С образуется из соединении (l) таких, что _ij(l): C_i  C_j, C_i,C_j  GN - множество сингулярных конфигурации, образующихся в ходе синтеза.

Реакция на образ

Пусть конструктор П синтезирует описание минимального идеализированного объекта J. Поставим в соответствие каждой сингулярной конфигурации C_i реакцию q_i  Q. Тогда реакция q_i=J\C_i - будет представлять потребную конфигурацию, необходимую для обеспечения вложимости C_i  J. Так как J конечен, то количество реакции перечислимо. Каждой регулярной конфигурации соответствует некоторая совокупность утверждений языка Lв. Эти утверждения есть аксиомы анализа и синтеза АС. Они позволяют определить конкретную сингулярную конфигурацию.

Семантический процессор

Определение 9.7. Стратегией синтеза St будем называть порядок проверки выполнимости аксиом на конфигурации С.

Определение 9.8. Семантическим процессором идеализированного объекта J назовем пятерку СП = <Техt,St,,J,Q> отображающую входной текст Тext во множество реакций Q.

Семантика - sem = Q(,[(Text)],St).

Теория формальных языков. Грамматики Хомского

Задача грамматики

Первоначально понятие грамматики было формализовано лингвистами при изучении естественных языков. Они интересовались не только определением, что является или не является правильным предложением языка, но также искали способы описания структуры предложений. Одной из целей была разработка формальной грамматики, способной описывать естественный язык. Надеялись, что, заложив в компьютер формальную грамматику, например, английского языка, можно сделать его “понимающим” этот язык, осуществлять с помощью компьютера перевод с одного языка на другой, по словесной формулировке проблем получать их решения, и т. д.

По-настоящему хорошего решения этих проблем пока нет, но достигнуты вполне удовлетворительные результаты в описании и реализации языков программирования.