Наилучшие решения

Пусть на множестве А задано отношение нестрого предпочтения R и пусть В – подмножество А.

Тогда объект (элемент) а^*В называется наилучшим (оптимальным) по отношению R, если он не менее предпочтителен, чем любой другой объект из В.

а^*Rа – для любого а В

Наилучший объект единственен с точностью до эквивалентности I, т.е. если в^* тоже является наилучшим на множестве В, то а^*Iв^*.

Если нужно провести выбор одного объекта из В, то можно взять любой из наилучших.

Если отношение R не является связанным квазипорядком, то наилучших элементов может не оказаться даже в конечном множестве В.

Пример: если мн-во В={a,b,c}, и отношение R={(a,a),(b,b),(c,c),(b,c)}

То в В наилучшего элемента нет, т.к. нет информации об отношениях между а и с (или а и b).

В таких случаях используется понятие максимальный объект.

Объект а⁰А называется max-м по отношению Р относительно В, если в В не существует объекта а строго более предпочтительного, чем а⁰,

Т.е. если аРа⁰не имеет место ни при каком, аВ.

Иногда это решение называют недоминируемым.

Множество максимальных из множества В по отношению Р: max_pB

Характеристики max-ых объектов

Множество максимальных объектов max_pB внутренне устойчиво в том смысле, что если объекты а,b max_pB ,то не может быть ни аРВ, ни bPa.

(нет доминирующих альтернатив над а,b).

Множество max_pB называется внешне устойчивым, если для любого объекта а,b B, который не является максимальным, найдется более предпочтительный максимальный объект, т.е. будет а⁰Ра для некоторого а⁰  max_pB.

Внешне и внутренне устойчивое множество max_pB называется ядром отношений Р в В.

Если множество maxpB не является внешне устойчивым, то для утверждения о том, что выбор следует ограничить рамками этого множества, нет основания.

(т.е. наилучший объект может  этому множеству)

В тех случаях, когда требуется выбрать не один наилучший, а несколько лучших объектов или упорядочить объекты по предпочтительности, понятие максимального объекта и ядра, теряют свое значение.

Пример: если требуется выбрать два объекта, то нельзя утверждать, что все они должны быть максимальными по Р:

Пусть В={a,b,c} и P={(a,c)}, тогда max_pB ={a,b}

Т.к. ничего не знаем о b, то он попадает в max_pB.

Однако если требуется выбрать два лучших объекта, то отбрасывать с нельзя, если принимающий решение дополнительно сообщит, что с предпочтительнее чем b, то искомыми окажутся объекты а и с.

P={(a,c),(c,b)}, сначала находим наилучший первый элемент – а, и убираем его из множества В; затем из (c,b) выбираем наилучший – с.

Объект а_* В называется наихудшим на множестве В, если для любого а B верно соотношение аRa_*.

Объект а₀ называется минимальным по отношению Р относительно В, если ни для одного а B не выполняется соотношение а₀Ра.

Множество min-х по Р объектов из В – min_pB.

Характерной особенностью языка бинарных отношений является допущение о том, что результат сопоставления по предпочтению двух объектов не зависит от состава всего множества выбора А.

В ряде случаев такая зависимость имеет место и для её учета приходится использовать другой язык описания предпочтений, основанный на использовании функции выбора.

Для многокритериальных задач максимизации на множестве допустимых оценок критериев введем отношения:

• Нестрого предпочтения:

a_b – а нестрого предпочтительнее, чем b если а_ib_i , i=1…n, по всем локальным критериям оценка а_i не хуже оценки b_i

• Два отношения строго предпочтения:

a>b - а строго предпочтительнее, чем b, если а_i>b_i , - нет лучше а_i для всех i=1…n,

а b - а строго предпочтительнее, чем b, если а_i>b_i , для всех I и хотя бы для одного а_j>b_j

В соответствии с данными выше определениями оценка y^*Y называется наилучшей по отношению нестрого предпочтения вида _, если для любого yY, выполняется y^*_y.

Т.к. отношение  является порядком, то может существовать только одна такая оценка (решение) y^*. Но оценка y^* не всегда присутствует во множестве допустимых оценок из-за того, что порядок _ не является полным.

Поэтому в зависимости от существа задачи приходится использовать оценки максимальные по  или по >.

Оценка y⁰Y (Y- множество оценок), называется максимальной по отношению строго предпочтения (, >), относительно Y, если не существует оценки yY, такой что yy⁰, y>y⁰.

Оценка максимальная по отношению  называется эффективной или оптимальной по Парето. Множество всех таких оценок из Y – P(Y) – эффективное множество.

Оценка максимальная по отношению > называется слабо эффективной или слабо оптимальной по Парето или оптимальной по Слейтору. Множество всех таких оценок из Y – S(Y) – слабо эффективное множество.

Т.к. из отношения, а>b следует, что верно отношение, а b, то всякая эффективная относительно Y векторная оценка является и слабо эффективной:

P

Найти множества S и Р:

P(Y): y’y.

y’ по всем не хуже, а по одному лучше. Если y’ нет, то yP(Y).

S(Y): y’>y

y’ по всем лучше. Если y’ нет, то yS(Y).

(Y)S(Y)

y₁

a b

c

d

e h

p

y₂

g

Лекция№20