Т.О., множество r-(X) – это множество всех элементов y м, с которыми фиксированный элемент X м находиться в отношении r.

R^-(x1)={х2,х4} R^-(x2)={х3,х4}

Множество R+(x) – это множество всех элементов y М, которые находятся в отношении R с фиксированным элементом М.

R⁺(x1)={ х3,x5} R⁺(x2)={х1,x5}

Рассмотрим четыре отношения специального вида:

1. Отношение называется пустым Ø, если оно не выполняется ни для одной пары компонент <х,y> МхМ.

Для него справедливо:

• матрица А(Ø)- такая, что ( Ø)=0 для всех i,j

• граф G(Ø) не имеет дуг

• R⁺(x)= R^-(x)= Ø для любого х М

2. Отношение называется полным (U), если оно выполняется для всех пар <х,y> МxМ.

Для него справедливо:

• Матрица А(U)-такая, что (U)=1 для всех i,j

• граф G(U) такой, что дуги соединяют любую пару вершин

• R⁺(x)= R^-(x)=М для любого х М

3. Отношение называется диагональным или отношением равенства (Е), если оно выполняется для всех пар <х,y> МхМ, состоящих из совпадающих элементов хЕy, если х и y - один и тот же элемент множества М.

Для него справедливо:

• Матрица А(Е)-такая, что

• (E) =

- граф G(E) такой, что присутствуют только петли при всех вершинах, а других нет;

• R+(x)= R-(x)={x} для любого х М.

4. Отношение называется антидиагональным ( ), если оно выполняется для всех пар <х,y> МxМ, состоящих из несовпадающих элементов.

Для него справедливо:

• Матрица А( )-такая, что

• ( ) = 0 при i=j

1 при i j

• граф G( ) такой, что присутствуют все дуги <xi,xj> при i j (отсутствуют лишь петли);

• R+(x)= R-(x)=М\{x} для любого х М.

Лекция № 11

Операции над отношениями.

Т.к. любое отношение R есть подмножество множества пар ², то для отношений можно определить все те операции, которые определены для подмножеств фиксированного множества.

1. Операция вложения отношений:

Отношение R₁ вложено (включено) в отношение R₂ (R₁ R₂) если множество пар, для которых выполнено отношение R₁, содержится во множестве пар, для которых выполнено отношение R₂.

2. Отношение называется дополнением отношения R, если оно выполняется для тех и только тех пар, для которых не выполняется отношение R.

= М² \ R

Или в матричной записи ( )=1 - (R) для (i , j = )

В графе g( ) присутствуют только те дуги, которые отсутствуют в графе g(r).

• ⁺(x)= М \ R⁺(x) для любого х М

• ^-(x)= М \ R^-(x) для любого х М

Антидиагональное отношение является дополнением диагонального отношения Е.

3. Пересечением отношений R₁ и R₂ (R₁ R₂ )называется отношение, определяемое пересечением соответствующих подмножеств из МxМ.

4. Объединением отношений R₁ и R₂ называется отношение, определяемое объединением соответствующих подмножеств из М*М.

5. Введем операцию обращения отношений:

Обратным к отношению R называется отношение R^-1, определяемое условием xR^-1y yRx

• (R^-1)= a_ji(R);

• граф G(R^-1) получается из графа G(R) изменением направлений всех дуг;

• (R^-1)⁺(х)= R^-(х) и (R^-1)^-(x) = R (x)

Результат последовательного выполнения операций дополнения и обращения не зависит от порядка, в котором они выполняются:

= ( )^-1

Двойственным к R называется отношение R^d, определяемое формулой:

R^d = ;

Т.е. двойственным к R является отношение R^d, дополнительное к обратному к R.

Специальные свойства бинарных отношений

Рассмотрим свойства отношений, позволяющие выделить типы отношений, широко используемых при анализе систем и в процедурах принятия решений.

Свойство 1: отношение R является рефлексивным, если E R; т.е. если оно выполнено между объектом и самим xRx.

Например: “x имеет общий признак с y ”, “х похож на у ” и т.д.

На графе G(R,M) рефлексивного отношения каждая вершина х М имеет петлю.

В МАТРИЦЕ НА ДИАГОНАЛИ СТОЯТ 1.

Свойство 2: отношение R является антирефлексивным, если R E = Ø, т.е. если из соотношения xRy следует, что х у (отношение R может выполняться лишь для несовпадающих объектов).

Например: «х старше у», «операция у не может начаться, пока не закончится операция х и т.д.».

В матрице на диагонали стоят 0.

Свойство 3: отношение R является симметричным, если R=R^-1, т.е. из выполнения соотношения xRy следует, что выполняется соотношение yRx.

Например: «х похож на у», “операция х несовместна с операцией у ” и т.д.

На графе симметричного отношения каждой дуге (х,у). Соответствует ориентированная ей навстречу дуга. Пару встречно ориентированных дуг можно заменить ребром, тогда симметричное отношение можно описывать неориентированным графом.

Свойство 4: отношение R является асимметричным, если Ø, т.е. из двух соотношений xRy и yRx по меньшей мере одно не выполнено.

Например: «х подчиняется у», «операция х выполнена раньше операции у» и т.д.

Если отношение R асимметрично, то оно антирефлексивно.

Доказательство: пусть для выполнено xRx. По определению обратного отношения это значит, что хR^-1x, но тогда что противоречит асимметричности.

Свойство 5: отношение R является антисимметричным, если , т.е. оба соотношения xRy и yRx выполняются одновременно только тогда, когда х=у.

Например: «операция х является частью операции у».

Свойство 6: отношение R является транзитивным, если для любых элементов х, у, z из М из соотношений xRy, yRz следует соотношение xRz.

Через свойства 1 – 6 можно определить основные типы отношений:

Свойство 7: отношение связности (линейности). Отношение R называется линейным (связным) если для любых или или или оба условия выполняются одновременно. (по крайней мере одно из них обязательно выполнено – в противовес антисимметричным).

В матрице (линейного)связного отношения или a_ij = 1 или a_ij = 1 для любых

Тип отношений	Свойства
	Рефл.	Антирефл.	Симм.	Асим-метр.	Антисимм.	Транзитивн.
Эквивалентность	+		+			+
Толерантность	+		+
Строгий порядок		+		(+)	(+)	+
Квазипорядок	+					+
Нестрогий порядок	+				+	+