Вопрос 71. Микрочастица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Уравнение Шредингера, собственные ф-ции состояния, условие нормировки, квантование энергии частицы.

Если поместить частицу в потенциальную яму, то н_еепрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения - +U(x)Ψ(x)=EΨ(x) с потенциальной энергией U(x), которая равна нулю в интервале (о,а) и становится бесконечной в точках 0 и а. На этом интервале ур-ие Шредингера совпадает с - =ЕΨ(х) Граничные условия

Ψ(а)+ = , Ψ(а)+ = для волновой ф-ции запишутся в виде

Ψ(0)=0 и Ψ(а)=0 Ищем значения в виде Asin( +σ) С учетом граничных условий получаем для собственных значений энергии

= и собственных ф-ций с учетом нормировки (x)= sin x

Ур-ие Шредингера: ∆Ψ+ (E-U)Ψ=0 . Где m-масса, Е-полная кин. эн. U- потенц. Эн.

Физический смысл имеют только регулярные волновые ф-ции- конечные, однозначные и непрерывные вместе со своими первыми производными. Эти условия выполняются только при определенном наборе Е. Эти значения энергии называются собственными. Решения, которые соответствуют собственным значениям энергии, назыв. собственными фун-ми.

Условие нормировки: вер-ть сущ. частицы где-либо в пространстве равна единице dV=1

Условие нормировки - это выбор уровня, на котором определяется начальное значение потенциальной энергии и выбор величины и знака начального значения этой энергии. Условие нормировки выбирается произвольно.

Квантование энергии частицы = - квантование полной кин. эн.

Вопрос 72. Прохождение частицы через высокий потенциальный барьер (туннельный эффект). Коэффициент прохождения (прозрачности) барьера.

Качественный характер функций y1(х), y2(х) и y3(x) иллюстрируется на рис(1), откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нудя вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

Это новое специфи¬ческое квантовое явление, получило название туннельного эффекта, в резуль¬тате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрач­ности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Можно показать, что

Вопрос 73. Спектр излучения атома водорода. Ф-ла Бальмера. Постулаты Бора. Элементарная боровская теория водородоподобного атома. Квантование радиусов орбит и энергии электрона.

Линейчатый спектр атома водорода.

Экспериментальное исследование спектров излучения разреженных газов (отдельных атомов) показали, что характерный линейчатый спектр каждого элемента представляет собой серии линий, положение которых может быть описано простыми эмпирическими формулами. Так, положение линий атома водорода в видимой области спектра описываются формулой Бальмера

1/λ=R’(1/2²-1/n²), или (v=c/ λ) для частот: v=R(1/2²-1/n²) (n=3,4,5,…), где R’=1,1*10⁷м^-1, R=R’*c=3,29*10¹⁵c^-1 – постоянная Ридберга. Позднее, в ультрафиолетовой области была обнаружена

серия Лаймана: v=R(1/1²-1/n²) (n=2,3,4,…), а в инфракрасной области

серия Пашена: v=R(1/3²-1/n²) (n=4,5,6,…),

серия Брэкета: v=R(1/4²-1/n²) (n=5,6,7,…),

серия Пфунда: v=R(1/5²-1/n²) (n=6,7,8,…),

серия Хэмфри: v=R(1/6²-1/n²) (n=7,8,9,…).

Все эти серии могут быть описаны обобщенной формулой Бальмера v=R(1/m²-1/n²), где m = 1,2,3,4,5,6 определяет серию, а n = m + 1, m + 2,…определяет отдельные линии этой серии. С увеличением n линии серии сближаются; значение n=∞ определяет границу серии, к которой со стороны бОльших частот примыкает сплошной спектр.

Постулаты Бора — основные допущения, сформулированные Нильсом Бором в 1913 году для объяснения закономерности линейчатого спектра атома водорода и водородоподобных ионов ядерной модели атома и квантового характера испускания и поглощения света.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний):

В атоме существуют некоторые стационарные состояния, не изменяющиеся во времени без внешних воздействий. В этих состояниях атом не излучает электромагнитных волн

Второй постулат Бора (правило частот):

при переходе атома из одного стационарного состояния в другое им испускается или поглощается один квант энергии

Используя данные постулаты и законы классической механики, Бор предложил модель атома, ныне именуемую Боровской моделью атома.

Бо́ровская моде́ль а́тома — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать непрерывно, и очень быстро, потеряв энергию, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему Бор ввел допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определенным (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причем стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка: . Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты R_n энергии электрона E_n на этой орбите находящегося:

,Здесь m_e — масса электрона, Z — количество протонов в ядре, ε₀ — электрическая постоянная, e — заряд электрона.

Квантование: радиус n-й стационарной орбиты электрона (n=1,2,3,…). Полная энергя электрона в водородоподобной системе складывается из кинетической и потенциальной энергий и с учетом квантования орбит r_n, получим: (n=1,2,3,…), где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии. Целое число n, определяющее энергетические уровни атома – главное квантовое число. Энергетический уровень с n=1 – основной уровень, а состояние атома – основное состояние (при n больше 1 – возбужденные).