Вопрос 69. Волновая ф-ция, ее назначение и физический смысл. Пл-ть вер-ти обнаружения частицы. Требования (условия) для волновой ф-ции. Принцип суперпозиции состояний

Волнова́я фу́нкция (пси-функция) — функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния квантовомеханической системы, имеющей протяжённость в пространстве.

Физ.Смысл: Единственной характеристикой волновой функции, непосредственное измерение которой возможно — это квадрат её модуля , смыслом которой является плотность вероятности обнаружить систему в положении, описываемом координатами в момент времени :

.

Требуемые условия для волновой ф-ции: ф-ция должна быть

1. конечной

2. Непрерывной

3. Монотонной

4. Однозначной

5. Дифференцируемой

Принцип суперпозиции состояний:

Ква́нтовая суперпози́ция (когерентная суперпозиция) — это суперпозиция состояний, которые не могут быть реализованы одновременно с классической точки зрения, это суперпозиция альтернативных (взаимоисключающих) состояний. Принцип существования суперпозиций состояний обычно называется в контексте квантовой механики просто принципом суперпозиции.

Если функции и являются допустимыми волновыми функциями, описывающими состояние квантовой системы, то их линейная суперпозиция, , также описывает какое-то состояние данной системы.

Из принципа суперпозиции также следует, что все уравнения на волновые функции (например, уравнение Шрёдингера) в квантовой механике должны быть линейными

Вопрос 70. Стационарные состояния и стационарное ур-ие Шредингера. Собственные значения энергии и собственные ф-ции.

Стационарное уравнение Шрёдингера

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде:

где функция должна удовлетворять уравнению:

которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции от времени проста, но зависимость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

Важное значение имеет интерпретация величины в уравнении (2). Она производится следующим путём: временна́я зависимость функции в уравнении (2) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит просто постоянный множитель . В левой же части уравнения (3) функция умножается на потенциальную энергию . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией .

У квантовой системы существуют особые состояния, в котоpых опpеделяемые им веpоятности не зависят от вpемени. Такие состояния называются стационаpными. Атомы вещества обычно находятся в стационаpных состояниях. Согласно пpинципу супеpпозиции любое нестационаpное состояние можно пpедставить как сумму, как наложение дpуг на дpуга стационаpных состояний. Ясно, что стационаpные состояния игpают очень важную pоль в квантовой механике и на них следует остановиться специально.

Существует общий пpием, опpеделяющий стационаpные состояния. Чтобы его установить, веpнемся к волнам де-Бpойля. Нетpудно видеть, что волны де-Бpойля являются для свободных частиц волновыми функциями, выpажающими именно стационаpные состояния. В самом деле, плотность веpоятности обнаpужения электpона, описанного волной де-Бpойля, есть величина постоянная:

Это есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы волновая функция изобpажала стационаpное состояние.