Вопрос 35. Системы уравнений Максвелла в интегральных и дифференциальных формах.

Основу макроскопической единой электромагнитной теории образуют фундаментальные уравнения электродинамики неподвижных сред (или коротко – уравнения Максвелла). Эти уравнения нельзя «вывести» из каких-либо законов, положений; они являются основными аксиомами, постулатами электродинамики, полученными путем обобщения огромного количества экспериментальных фактов.

Дополнительными уравнениями к системе основных уравнений Максвелла являются материальные уравнения, определяющие индивидуальные свойства среды, в которой существует электромагнитное поле. D = ε^.ε₀^.E; B = μ^.μ₀^.H; j = σ(E + E^*) (12) где ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости, а σ– электропроводность среды; Е^*- поле сторонних сил (не э/м).

Рассматриваются изотропные линейные среды, не содержащие сегнетоэлектриков и ферромагнетиков.

Предварительно сформулируем условия выполнения уравнений Максвелла:

1) эти уравнения макроскопические, т.е. они описывают все электромагнитные явления, в которых не проявляются квантовые эффекты (иначе говоря, на расстояниях больше среднеатомных ~ 10^-10м);

2) эти уравнения записаны для достаточно слабых полей, сравнительно медленно изменяющихся в пространстве и во времени, они неприменимы при больших частотах изменения э/м полей, когда становятся существенными квантовые явления;

3) эти уравнения выполняются в среде, для которой энергия э/м поля не превышает энергии теплового (хаотического) движения микрочастиц.

Свойства уравнений:

• Уравнения Максвелла – линейны. Они содержат только первые производные от характеристик полей Е и В и первые степени плотностей электрических зарядов ρ и токов j.

Со свойством линейности непосредственно связан принцип суперпозиции: если два каких-либо поля независимо удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к их сумме.

• Уравнения Максвелла – в определенной степени симметричны. Их полная симметричность исключена тем , что в природе существуют электрические заряды, как источники потенциального электрического поля, и отсутствуют анало-гичные «магнитные» заряды, также производные

имеют противоположные знаки в соответствующих уравне-ниях и образуют левовинтовую (с вихревым Е-полем) и правовинтовую (с вихревым Н-полем) системы.

• Уравнения Максвелла – релятивистки инвариантны (относительно преобразований Лоренца). Вид уравнений не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета К к другой К’, движущейся со скоростью v относительно первой вдоль общей оси 0х. Однако входящие в уравнения величины (Е, В и др.) преобразуются по определенным правилам (согласно преобразованиям Лоренца). Так в проекциях на оси xyz имеем:

Билет 36. Распространение электромагнитных волн в нейтральной электропроводящей среде. Волновое уравнение и его решение. Скорость электромагнитных волн.

Распространение электромагнитного возмущения

Из теории Дж. Максвелла следует, что переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное поле, которое, вообще говоря, тоже оказывается переменным и в свою очередь порождает вихревое электрическое поле и т. д.

Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов (диполя) переменное электрическое поле (∂D/∂t), то в окружающем заряды пространстве возникнет последователь-ность взаимных превращений Е и Н – полей, распростра-няющихся от точки к точке.

Этот процесс будет периодичес-ким как во времени, так и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну – электромагнитную волну.

Вывод волнового уравнения

С уществование электромагнитных (э/м) волн вытекает из уравнений Максвелла. Так в случае однородной (ε, μ = const) электрически нейтральной (ρ = 0) и непроводящей (σ = 0) среды имеем уравнения в симметричной форме:

или с учетом материальных уравнений D= = ε^.ε₀^.E, B = μ^.μ₀^.H

Решение волнового уравнения

В теории волновых уравнений типа (1, 2) доказывается, что их решения являются гармонические функции вида:

ξ(r, t) = ξ_m^.cos(ω^.t – k^.r + α₀), где r – радиус-вектор точки в пространстве, ξ_m- амплитуда волновой функции, ω – циклическая частота волны, k = ω/v = 2π/λ – волновое число, α₀ – начальная фаза колебаний в точке О.

С корость распространения э/м волны в непроводящей, нейтральной, неферромагнитной среде подчиняется соотношению

Вопрос 37. Плоская электромагнитная волна ее уравнение и свойства (E перп H, синфазность(разность фаз =0), поперечность). Связь мгновенных значений векторов E и Н в электромагнитной волне.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распростра-няющуюся в указанной среде в направлении некоторой оси х (у такой волны волновые поверхности ортогональны оси х, а вектор скорости направлен вдоль х). При этом компоненты E_x-

Н _х-полей не зависят ни от х, ни от t, они постоянны и обычно полагают: Е_х= Н_х = 0. В этом случае система^* принимает вид:

Вывод волнового уравнения

Д ля описания плоской э/м волны достаточно взять одну пару уравнений, например, (а), положив Е_z = Н_y = 0.

П родифференцировав первое уравнение из (а) по х и произведя перестановку операций в его правой части, т. е.

а также подставив из второго уравнения

где 1/с²= ε₀^.μ₀. Таким образом, мы получили классическое волновое уравнение для компоненты поля E_y.

П роделав аналогичные операции со вторым уравнением системы (а) получаем волновое уравнение для компоненты H_z:

Решение волнового уравнения

В теории волновых уравнений типа (1, 2) доказывается, что их решения являются гармонические функции вида:

ξ(r, t) = ξ_m^.cos(ω^.t – k^.r + α₀), где r – радиус-вектор точки в пространстве, ξ_m- амплитуда волновой функции, ω – циклическая частота волны, k = ω/v = 2π/λ – волновое число, α₀ – начальная фаза колебаний в точке О.

Поэтому можно записать решения уравнений (1 и 2) как:

П одставив решения (3) в уравнения Максвелла системы (а), получаем k^.E_m^.sin(ω^.t –k^.x + α₁) = μ^.μ₀^.ω^.H_m^.sin(ω^.t –k^.x +α₂) и k^.H_m^.sin(ω^.t – k^.x + α₂) = ε^.ε₀^.ω^.E_m^.sin(ω^.t – k^.x + α₁). Для того, чтобы эти уравнения удовлетворялись, необходимо равенство α₁ = α₂ и должны выполняться соотношения: k^.E_m= μ^.μ₀^.ω^.H_m и ε^.ε₀^.ω^.E_m= k^.H_m. Если последние равенства перемножить слева и справа, то ε^.ε₀^.E_m² = μ^.μ₀^.H_m² или

Теория Максвелла не только предсказала возможность существования э/м волн (т. е. особого состояния электромаг-нитного поля, когда оно существует самостоятельно – без электрических зарядов и токов – посредством постоянного преобразования электрического поля в магнитное и т. д.), но и установила основные свойства э/м волн:

1) скорость распространения э/м волны в непроводящей, нейтральной, неферромагнитной среде подчиняется соотношению

2) векторы Е, Н (или В) и v всегда взаимно перпендикулярны

и образуют правовинтовую систему;

3) э/м волна – поперечная волна, колебания векторов Е и Н в ней – синфазные (следовательно, начальные фазы для них α₁= α₂= 0);

4) в э/м волне выполняется соотношение Максвелла для мгновенных (и амплитудных) значений Е и Н полей