Абсолютно сходящиеся ряды

Ряд с комплексными членами

                                (1) 

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

                            (2)

модулей его членов.

Абсолютно сходящийся ряд сходится.

В самом деле, пусть ряд (1) абсолютно сходится; тогда сходится ряд (2) и в силу признака Коши для любого   найдется такое  , что   для всех   и  . Тем более, тогда  . Поэтому, в силу признака Коши ряд (1) сходится.

Сходящиеся ряды с неотрицательными членами тривиальным образом сходятся абсолютно. Ряд   сходится, потому что он есть ряд Лейбница. Однако абсолютно он сходится только при  .

Условно сходящиеся ряды с действительными членами

Рассмотрим ряд

                                (1)

с действительными членами сходящийся, но не абсолютно.

Можно доказать, что, каково бы ни было число  , конечное или бесконечное, т. е. удовлетворяющее неравенствам  , существует перестановка членов ряда (1), в результате которой получится ряд, сходящийся к  . Поэтому неабсолютно сходящиеся ряды называют условно сходящимися.

Степенной ряд. Теорема Абеля о структуре области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.

Степенной ряд

Рассмотрим степенной ряд

            ,  (1)

имеющий радиус сходимости  .

Из теории степенных рядов мы знаем, что ряд (1) равномерно сходится на круге  , где   - любое положительное число, меньшее  . Поэтому сумма   ряда (1) - непрерывная функция в открытом круге  . Больше того,   имеет на этом круге непрерывную производную   любого порядка, которую можно вычислить путем почленного дифференцирования ряда (1). Это показывает, что сумма степенного ряда есть аналитическая функция в круге (открытом!) его сходимости. Числа   вычисляются по формуле

             ,                        (2)

что показывает, что степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы эту формулу можно заменить следующей:

            ,

где   - произвольный контур, ориентированный против часовой стрелки, принадлежащий к кругу сходимости ряда (1) и содержащий внутри точку  .

Правило разложения функции в степенной ряд. Формулы Маклорена для коэфицентов.

Если функция   в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням  , то это разложение единственно и задается формулой:

Формулы Маклорена некоторых элементарных функций.

1) f(x)=e^x

f '(x)=f "(x)=…=f(n+1)(x)=e^x

f(0)=f '(0)=f "(0)=…=f(n+1)(0)=1

(5)

2) f(x)=sinx

(6)

3) f(x)=cosx

(7)

Формула Логранжа для остатка степенного ряда. Приближенное вычисление «е».

Формула Тейлора

Формула Тейлора 

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).

     Остаточный член формулы Тейлора 

     В форме Лагранжа:

Применение степенных рядов в приближенных вычислениях и решениях дифферинциальных уравнений

Применение рядов к приближённым вычислениям

Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах.   Пример 1. Вычислить   с точностью до 0,001. Воспользуемся разложением   Тогда = 0,0238+0,0046– –0,0008≈0,7475≈0,748. Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.   Пример 2. Вычислить   с точностью до 0,001. =  Используем биномиальный ряд при x=0.25; m= ≈2(1+ + 2.(1+0,0833--0,0069+0,00096) ≈  ≈2.(1+0,0833-0,0069) ≈2,1528≈2,153. Так как, начиная со второго члена, ряд знакочередующийся и 0,00096<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,00096, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.

Какие функции называются ортогональными на отрезке? Тригонометрическая система.

 Две функции φ(x) и ψ(x) называются ортогональными на отрезке[a,b] (или в интервале (a,b)),если

При этом предполагается, что

Система функций {φ_n(x),n=0,1,2, ... }- ортогональна на отрезке [a,b] (или в интервале (а,b)),если

 

Здесь тоже предполагается, что

Иными словами,система функций {φ_n(x), n = 0, 1, 2, ...} ортогональна на отрезке [a,b], если все функции попарно ортогональны. Число 

называется нормой функции φ_n(x). Если все функции φ_n(x) имеют единичную норму и система ортогональна на [a,b], то такая система функций называется ортонормированной.

Простейшим примером ортогональной системы функций служит тригонометрическая система

{1, sinx, cosx, sin 2x, cos 2x, ... , sin nx, cos nx, ...}

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

одна из важнейших ортогональных систем функций. Функции Т. с. 1, cosx, sinx, . ..,cosnx,sinnx, . .. ортогональны на любом отрезке вида   а функции

ортонормированы на этом отрезке. Т. с. полна и замкнута в пространстве   при   а также в пространстве  непрерывных   -периодических функций. Эта система образует базис в пространстве   при   Ряды по Т. с. изучаются в теории тригонометрических рядов.  Наряду с Т. с. широкое применение находит комплексная тригономстрич. система   Функции этих систем связаны друг с другом формулами Эйлера.

Правило разложения функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле.

Разложить в ряд Фурье функцию (периода  )  .

Рис. 116

Данная функция четная. Тогда ее ряд Фурье состоит только из косинусов  . Вычислим коэффициенты  :

и

Таким образом,

.

Теорема Дирихле.

Распределение тепла в теле называется стационарным, если температура   тела зависит от положения точки  , но не зависит от времени  , т. е.

.

В этом случае

и функция   удовлетворяет уравнению

.

Определение. Функция   называется гармонической на области  , если она имеет непрерывные частные производные второго порядка на   и удовлетворяет на   уравнению

.                                                 (1)

Уравнение (1) называется уравнением Лапласа. Справедлива

Теорема 1. Пусть ограниченная область   пространства имеет кусочно-гладкую границу (поверхность)  , на которой задана непрерывная функция  . Тогда существует на замыкании   единственная непрерывная функция  , гармоническая на  , такая, что

.

Теорема 1 имеет очевидную физическую интерпретацию. Если на границе   тела   все время поддерживать температуру  , равную  , где   - заданная непрерывная на   функция, то внутри тела установится вполне определенная (единственная) температура  . Это утверждение с физической точки зрения надо считать очевидным. Но оно может быть доказано и математически. Эта задача, называемая задачей Дирихле, исследована очень хорошо, при этом даются различные приближенные методы ее решения.

Задача Дирихле имеет большое практическое применение и в плоском случае. В плоском случае она формулируется так.

На кусочно-гладкой границе   плоской области   задана непрерывная функция  . Требуется найти функцию , непрерывную на   и гармоническую на  , т. е. имеющую вторые непрерывные частные производные и удовлетворяющую уравнению Лапласа на  :

.

Эта задача решается положительно: на   существует и притом единственная функция  , удовлетворяющая  требованиям этой задачи.

Особенно важны те случаи, когда задача Дирихле решается эффективно.

Ряд Фурье для четных и не четных функций!

Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n=1,2, ...

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2Lвыглядит так:

Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n=1,2, ...

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке  то 

, где  ,

,

,

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.