Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Готовые шпоры Дискретная матика.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
03.09.2019
Размер:
161.37 Кб
Скачать

Теоретическая часть

  1. Логические операции. Формулы логики. Таблица истинности. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

Формулы логики высказываний

Определим понятие формулы логики высказываний.

Определение. Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами данного алфавита. Словом в данном алфавите называется произвольная конечная последовательность символов (возможно пустая).

Алфавит логики высказываний содержит следующие символы:

высказывательные переменные;

логические символы;

символы скобок.

Определение. Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:

любая высказывательная переменная – формула;

если А и В – формулы, то А, А В, А В, А В, А В, А В, А В, А В – формулы;

только те слова являются формулами, для которых это следует из 1) и 2).

Определение. Подформулой формулы А называется любая ее часть, которая сама является формулой.

Логические операции

В дальнейшем значению «истина» будем ставить в соответствие 1, а «ложь» - 0. Каждой логической операции ставится в соответствие таблица истинности. Таблица истинности выражает значения истинности высказываний в зависимости от значений элементарных высказываний. В дальнейшем буден использовать таблицу истинности для установления истинностных значений сложных высказываний при данных значениях входящих в него элементарных высказываний.

Определение. Отрицанием высказывания является новое высказывание, истинное только тогда, когда исходное высказывание ложно (табл. 3).

Отрицание обозначается через и читается как «не а», «неверно, что а».

Определение. Конъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое истинно только тогда, когда оба исходных высказывания истинны (табл. 4).

Конъюнкция обозначается или a&b и читается как «a и b», «a, но b», «a, а b».

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно только тогда, когда оба исходных высказывания ложны (табл. 5).

Дизъюнкция обозначается через и читается как «a или b».

Определение. Импликацией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно только тогда, когда первое истинно, а второе – ложно (табл. 6).

Импликация обозначается a b и читается как «если a, то b»; « из а следует b». При этом a называется посылкой или условием, b – следствием или заключением

Определение. Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний является новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях (табл. 7).

Эквивалентность обозначается a b и читается как «a эквивалентно b».

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Таблица истинности выражает значения истинности высказываний в зависимости от значений элементарных высказываний. Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь». Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики.

Нормальные формы

Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция, составленная из попарно различных переменных или отрицаний переменных.

Иногда будем допускать в элементарной конъюнкции наличие повторов элементов.

Определение. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция попарно различных элементарных конъюнкций.

Иногда будем допускать в ДНФ наличие повторов элементов.

Пример 25.

Следующие формулы находятся в ДНФ: .

Определение. Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция, составленная из попарно различных переменных или отрицаний переменных.

Иногда будем допускать в элементарной дизъюнкции наличие повторов элементов.

Определение. Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция попарно различных элементарных дизъюнкций.

Иногда будем допускать в КНФ наличие повторов элементов.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.