11. Понятие множества. Декартова степень множества.

Множество – простейшее, неопределенное понятие. Совокупность элементов рассматриваемых как единое целое – множество. Объекты из которых состоит множество называют элементами данного множества. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, элементы – малыми.

Пара объектов а,в называется упорядоченной если на ней введен порядок, то есть известно какой объект первый и второй. Обозначение: <а,в> , {а,в} – неупорядоченная пара.

Упорядоченная пара <а,в> = упорядоченной паре <с,d> тогда и только тогда когда а = с, в = d

Пусть даны два множества А и В произвольных. Декартовым произведением А на В (AxB) называется множество всех упорядоченных пар <а,в> таких что а пренадлежит множеству А, в принадлежит В.

AxB = {<a.b> | a c A. b c B}

12. Понятие множества. Соответствие между теоретико-множественными и логическими операциями.

Множество – простейшее, неопределенное понятие. Совокупность элементов рассматриваемых как единое целое – множество. Объекты из которых состоит множество называют элементами данного множества. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, элементы – малыми.

13. Понятие предиката. Область определения и область истинности предиката. Обычные логические операции над предикатами.

Средства, предоставляемые логикой высказываний, ока­зываются недостаточными для анализа многих математи­ческих рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Предикатом называется предложение содержащие переменную величину, такое что при подстановке конкретных значений вместо переменной величины появляется высказывание.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Одноместным предикатом Р(х) на­зывается произвольная функция переменного х, опреде­ленная на множестве М и принимающая значения из

множества {1,0}.

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.

Множество всех элементов х  М , при которых преди­кат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истиннос­ти предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х  М, Р(х) = 1}.

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истина и ложь (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Определение: Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)Q{x), который принимает значение «истина» при тех и только тех зна­чениях х  М, при которых каждый из предикатов при­нимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката P(x)Q(x) является общая часть областей истинно­сти предикатов Р(х) и Q(x), то есть: I_PQ = Iр  Iq . Определение. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)V Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значе­ниях х  М, при которых каждый из предикатов при­нимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката Р(х)V Q(x) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть : I_PVQ = Iр  Iq.

Определение. Отрицанием предиката Р(х) назы­вается новый предикат, который принимает значе­ние «истина» при всех значениях х  М, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принима­ет значение «ложь» при тех значениях х  М, при кото­рых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Определение . Импликацией предикатов Р{х) и Q(х) называется новый предикат Р(x) Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях х  М, при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», a Q(x) - значение «ложь» и принимает значе­ние «истина» во всех остальных случаях.