Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Готовые вопросы к экзамену по математике, БЛЕАТ....docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
15.04.2019
Размер:
926.59 Кб
Скачать

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму   . Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой.

Определение 10.1. Если существует конечный предел интегральной суммы  , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

              .                                  (10.1)

 

Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (10.1) равен массе рассматриваемой кривой.

 

                      Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

 

  1. Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл   существует.

  2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

                                                                                   (10.2)

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

 

              Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

 

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где   Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

             ,

где   - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла   Следовательно,

                =                                                          (10.3)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

      x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),       t0 ≤ t ≤ T,  

то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

              

получим:

                      (10.4)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

 

Пример.

Вычислить   где L:   Применяя формулу (10.4), получим:

Криволинейный интеграл второго рода.

 

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку Mi и умножим значе-ние функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного инте-грала 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность    xi – xi-1 = Δxi. Составим из полученных произведений интегральную сумму  .

Определение 10.2. Если существует конечный предел при  интегральной суммы  , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

                     .                           (10.5)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

                                 

Определение 10.3. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы

         ,

то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

   .           (10.6)

 

Замечание. Если считать, что сила   действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

                                ,

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

 

                     Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

 

  1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).

 

  1. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

                                                                                  (10.7)

Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.

 

         Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.

 

Теорема 10.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

                         x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),     α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство

                         .                           (10.8)

Доказательство.

Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа:   φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:          

                          .

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:

                          ,

что и требовалось доказать.

 

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида  , откуда следует, что

  

                                            (10.9)

 

Пример.

Вычислим интеграл  , где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2) до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:

                                   

Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда

Поверхностный интеграл первого рода

Поверхностный интеграл первого рода является таким же обобщением двойного интеграла, как криволинейный интеграл первого рода по отношению к определённому интегралу.

Пусть S - поверхность в трёхмерном пространствеOxyz, а F(x,y,z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS1, ΔS2, ...., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3.8). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквамиSi(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через λ На каждом "элементарном" участке ΔSiпроизвольным образом выберем по точке Mi(xi,yi,zi) (i = 1,...,n) и составим сумму

которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.

Определение 3.3. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек Mi  ΔSi(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается

Поверхностный интеграл обладает всеми обычными свойствами интеграла, включая теорему о среднем значении.

Приведём простейшие достаточные условия существования поверхностного интеграла первого рода.

Теорема 3.4. Если поверхность S задана уравнением z = f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные f'x(x,y) и f'y(x,y) непрерывны в замкнутой области τ (τ - есть область, в которую проектируется поверхность S на координатную плоскость Oху), а функция F(x,y,z)непрерывна на S, то интеграл

существует.

К использованию этих условий, равно как и условий, получающихся из них перестановкой переменных x, y, z сводится большинство практически встречающихся случаев.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам.

Пусть выполнены все условия приведенной выше теоремы, тогда, обозначив проекцию ΔSi(и площадь проекции) на плоскость Oxy через Δτi, по теореме о среднем значении будем иметь:

где (xi, yi)   Δτi, а, следовательно

при данном специфическом выборе точек Mi. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции

по плоской области τ. Переходя к пределу, получаем:

Если проектировать поверхность S не на координатную плоскость Oxy, а на координатную плоскость Oxz или Oyz, то можно записать формулы для вычисления поверхностного интеграла аналогично формуле (3.14).

Приложения поверхностного интеграла различны. Так, например:  1) если положить F(x,y,z)=1, то интеграл (3.12) будет численно равен площади поверхности S.  2) если же функцию F(x,y,z) интерпретировать как плотность вещества, распределенного по поверхности S, то интеграл (3.12) численно равен массе материальной поверхности S.

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Пусть в пространстве Oxyz имеется область D, в которой задана функция  . В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а функцию   называют функцией поля(например, скалярное поле температур, скалярное поле давлений).

Рассмотрим точки области D, в которых функция поля имеет постоянное значение C . Совокупность этих точек образует некоторую поверхность, которая называется поверхностью уровня, илиэквипотенциальной поверхностью. Уравнение  – уравнение поверхности уровня. При различных значениях C получим семейство поверхностей уровня.

Наряду со скалярными полями в пространстве рассматривают также плоские скалярные поля. Функция плоского скалярного поля имеет вид  . Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью линий уровня   (например, изотермы на картах синоптиков).

П усть задана дифференцируемая функция скалярного поля  .

Рассмотрим точку   этого поля и луч  , выходящий из точки P в направлении единичного вектора   где  –углы, образованные вектором   с осями координат (рис.18). Пусть  – какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим   – расстояние между точкамиP и   называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении   назовем разность  .

Производной функции   в точке P по направлению   (обозначают ) называется предел отношения приращения функции в направлении   к величине перемещения   при  .

Заметим: если   в точке P, то функция в этом направлении возрастает, если  – убывает. Можно сказать, что производная по направлению дает скорость изменения функции в этом направлении.

По условию функция   дифференцируема, значит, ее полное приращение можно представить в виде  , где . Разделим обе части на  :  .

Перейдем к пределу при  , учитывая, что  . Получим формулу вычисления производной по направлению:  .

Если направление   совпадает с направлением какой–либо из осей координат, то   совпадает с соответствующей частной производной. Пусть, например, луч   направлен по оси Oy. Тогда  , то есть   и  .

Для плоского скалярного поля    .

Градиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией  , называется вектор, координаты которого совпадают со значениями соответствующих частных производных этой функции: , или  .

, где  –угол между векторами gradu и  . Из этого равенства следует, что   принимает наибольшее значение, когда  , то есть  , значит, направление   совпадает с направлением gradu.

Таким образом, gradu есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

Векторное поле.

Векторное поле в пространстве задается в каждой точке   с помощью вектора

,

где проекции   являются функциями точки  .

Если поверхность   в пространстве задана уравнением  , то единичный вектор нормали   к этой поверхности равен

   (1)

Знак берется в зависимости от выбранной стороны двусторонней поверхности  .

Потоком векторного поля   через поверхность   называется поверхностный интеграл

, где    – единичный вектор нормали в произвольной точке  .

Если   однозначно проектируется на плоскость XOY в область  , то вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла по  :

  , (3)

где   есть коэффициент при   для вектора  , а   получается из уравнения поверхности.

Аналогично можно проектировать на плоскость YOZ или ZOX.

Другой способ вычисления потока состоит в проектировании поверхности    на все три координатные плоскости, если   проектируется на них однозначно, т.е.

, (4)

где знаки перед интегралами совпадают со знаками   для вектора  , а функции   сведены к двум переменным с помощью уравнения поверхности.

Для вычисления потока через внешнюю сторону замкнутой поверхности    удобно применить формулу Остроградского – Гаусса:

  , (5)

где   – дивергенция векторного поля   в точке  .

Поток будет равен тройному интегралу от  , взятому по объему  , ограниченному поверхностью  .

Если в пространстве задано векторное поле   и линия  , то работа этого поля вдоль линии    представляет собой криволинейный интеграл 

Циркуляцией векторного поля   называется криволинейный интеграл этого поля вдоль замкнутого пути  :

   (6)

При вычислении этот интеграл сводится к определенному интегралу с помощью уравнения линии  .

Если линия   разделена на части   и  , то интеграл 

Поток векторного поля через ориентированную поверхность

Поток векторного поля. Рассмотрим кусок поверхности  , заданной уравнением  . Пусть выполняется условие   , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором  . Выберем одну из сторон поверхности следующим образом: построим на поверхности достаточно малый замкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормали в точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормали обход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называть сторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Таким образом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, а односторонние поверхности лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потоком векторного поля    через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности (1-го рода)   , где -      единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону. Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи.

Гидродинамический смысл потока

 Рассмотрим физический смысл потока векторного поля на примере гидродинамической задачи о вычислении количества жидкости, протекающей через поверхность  S  в единицу времени.

       Каждой точке заполненного жидкостью пространства можно поставить в соответствие вектор скорости  υ  частиц потока текущей жидкости.

       Разложим вектор  υ  скорости движения жидкости вблизи площадки на две составляющие, одна из которых направлена вдоль поверхности  dS, а другая – перпендикулярно к ней. За протекание жидкости через площадку ответственна только нормальная составляющая скорости  υn = υ · n, где  n  – единичный вектор нормали к поверхности  dS.

       За время  dt  через площадку пройдет жидкость, отстоящая от нее на расстоянии  υn dt  и заполняющая объем  υn dt dS .

       Объем жидкости, протекающей через бесконечно малую проницаемую площадку  dS  за время  dt, равен (с точностью до знака)

dV = υ · n dt dS = υn dt dS.

       В единицу времени через поверхность  dS  проходит  dΦ = υn dS  единиц объема жидкости. Эта величина называется потоком вектора  υ  через элемент поверхности  dS .

       Для нахождения потока  Φ  некоторого вектора через поверхность конечных размеров можно разбить эту поверхность на малые элементы и просуммировать потоки через все элементы. Результатом такого суммирования является интегральная сумма, которая переходит в соответствующий поверхностный интеграл при замене элементов конечных размеров бесконечно малыми элементами разбиения поверхности.

       Таким образом, поток вектора  A  через поверхность  S  (например, количество жидкости, протекающей через  S  в единицу времени) равен поверхностному интегралу от проекции вектора на нормаль к поверхности:

.

Дивергенция Векторного поля

Пусть задано векторное поле 

Определение 3.7.

Дивергенцией или расходимостью векторного поля   называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле  порождает скалярное поле div  .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградскогоможно представить в форме:

т. е. поток векторного поля   через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы (3.38) можно записать:  и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина  0 ), имеем:

То есть div   есть предел отношения потока поля  через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток  , то в область V втекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Если П < 0, то внутри области V есть стоки.  Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.

Для характеристики точки можно использовать div .

Если div  > 0, то данная точка есть источник, если div  < 0  – то сток.

Заметим, что div можно записать с помощью символического вектора Гамильтона  в следующем виде:

Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):

где U – скалярная функция.

Пример 3.20.

Найти div  , а также определить по формуле Остроградского поток векторного поля  = (x, y, z) через замкнутую поверхность S. Привести частные случаи.

Решение

Цилиндр с высотой Н и радиусом основания RП = 3πR2H.  Конус с высотой Н и радиусом основания RП = πR2H.  Сфера радиуса R: П = 4R3.

Формула Гаусса – Остроградского.

  Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

  Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского.

  Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными дум доугим координатным осям.

  После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса – Остроградского:

 

 

 

 Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

 

  На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

  Тиеют место формулы:

 

 

 Пример. Найти формулу вычисления объема шара.

В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.

  Уравнение шара имеет вид: 

  Найти объем шара можно по формуле:

 

Ротор (вихрь) векторного поля 

или в символическом виде

     Свойства ротора 

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру. Теорема Стокса.

Проведем в векторном поле замкнутую кривую и примем для нее определенное направление обхода. Затем разобьем ее на малые дуги. Хорды, стягивающие эти элементы кривой, имеют направления, совпадающие с направлением обхода. Обозначим их   . В произвольной точке i –того участка кривой возьмем вектор поля   и составим сумму

 (2.37)

После этого устремим   к нулю. Если при этом предел суммы (2.37) существует и не зависит от способа разбиения кривой и выбора точек определения векторов  , то мы приходим к криволинейному интегралу

 (2.38) Определение. Криволинейный интеграл (2.38) называется циркуляцией векторного поля     по замкнутому контуру L.Если, например,     - это силовое поле, то физический смысл циркуляции состоит в том, что она выражает работу поля по пути L. Будем стягивать контур, по которому вычисляется циркуляция, к точке. Это позволит определить новую локальную характеристику отличную от дивергенции. Отличие заключается в частности в том, что ее значение будет в общем случае зависеть не только от точки, к которой стягивается контур, но и от его ориен­тации в пространстве. Поэтому можно предположить, что инте­ресующеенас предельное значение циркуляции, которая сама по себе есть скаляр, выражается через скалярноепроизведение некоего вектора (его предстоим нам найти) и единичного вектора нормали к плоскости контура, стягиваемого к точке.Возьмем в поле   замкнутый контур L, натянем на него произвольную поверхность S и определим на ней направление внешней нормали. Построим на ее малом участке, который в пределе можно считать плоским, прямоугольник. Его стороны обозначим   и   , причем    . Площадь этого прямоугольника

 (2.39)

, а вектор единичной нормали

 (2.40)

Вычислим циркуляцию вектора   вдоль контура прямоугольника. С учетом последующего перехода к пределу   она равна

 (2.41)

, где   означает бесконечно малую более высокого порядка, чем   .

Разделим правую и левую части (2.41) на    и перейдем к пределу. Тогда с учетом того, что в левой части стоит выражение для циркуляции   вдоль бесконечно малого контура, получим

 (2.42)

Проекция   на направление   равна пределу отношения циркуляции вектора   вдоль замкнутого контура, проведенного в плоскости, перпендикулярной  , к площади, ограни­ченной этим контуром, при стягивании его к точке. Рассмотрим теперь всю совокупность элементарных площадок, на которые с помощью прямоугольников, подобных только что рассмотренному, можно разбить поверхность S. Применим к каждой из них соотношение (2.41), просуммируем и перейдем к пределам, как это было сделано при выводе (2.42). Сумма правых частей приведет нас к потоку   через поверхность S. Сумма левых частей сведется к циркуляции векторного поля   по контуру L, так как общие части границ соседних элементарных площадок проходятся в противоположном направлении и при суммировании циркуляции их вклады компенсируют друг друга. Из сказанного следует

ТЕОРЕМА. Поток вихря   через поверхность S,.натянутую на замкнутый контур L , равен циркуляции векторного поля     по этому контуру, если компоненты поля вместе с их частными произ­водными непрерывны на S и L.

Формула Грина

формула Грина касается криволинейных интегралов 2-го рода по замкнутому контуру.

Пусть  - кусочно-гладкая,   - кусочно-гладкие

- непрерывны, за исключением площади области 0. Тогда

Область называется простой, если 

 D

  a   b 

 

конечная сумма простых областей = D

  

Следствие   

      

 

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y(n)(x) до порядка nвключительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Что называется дифферинциальным уравнением? Диферинциальное уравнение 1го порядка: с разделяющимися переменными, линейные ДУ, Уравнение Бернулли, однородные ДУ, уравнения в полных дифферинциалах. Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. 

 Уравнение с разделяющимися переменными 

     Общий интеграл 

 Линейное однородное уравнение первого порядка 

     Общее решение:  .

     Решение задачи Коши, y(x0) = y0:

     Линейное неоднородное уравнение первого порядка 

     Общее решение:

     Решение задачи Коши, y(x0) = y0:

     Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами 

     Характеристическое уравнение       Характеристические числа 

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения сделаем замену  : Учитывая y(0)=1, получим:  Следовательно,  Ответ: 

Теорема о существовании и единственности диферинциалного уравнения первого порядка

Теорема:  Пусть  в уравнении   (1) определена в области  , непрерывна в ней, и имеет непрерывную частную производную   в этой области. Тогда  , что в     решение уравнению (1), удовлетворяющее условию   (2) и оно единственно.

Доказательство:

Лемма:  Задача Коши (1)-(2) равносильна решению интегрального уравнения

 (3). Т.е. если y(x) удовлетворяет уравнению (1) и условию (2), то оно является решением (3) и обратно: если y(x) в некотором интервале, содержащем точку   удовлетворяет (3) и является непрерывной функцией, то она является решением задачи Коши.

Доказательство Леммы:

1)   Пусть y(x) удовлетворяет (1) и (2). Это значит, что  . Проинтегрируем:

2)  Пусть y(x) удовлетворяет (3) и является непрерывной функцией, тогда подынтегральная функция    - непрерывная, как суперпозиция непрерывных функций. Тогда интеграл с переменным верхнем приделом – функция диф-ая. Подставим y(x) в (3). Мы имеем право диф-ть (3) по х.

 - удовлетворяет (1). Кроме того, подставив в (3) вместо x,   мы получим, что у удовлетворяет и нач. условию (2).

дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.