Необходимый признак сходимости числового ряда.

  Теорема: Пусть числовой ряд

u1+u2+...+un+... ,

(1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю  Доказательство. Из условия теоремы имеем

       

Так как

S_n - S_n-1 = u_n

то

  Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

,

а он, однако не является сходящимся.   Так гармонический ряд

,

для которого

,

расходится.   Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

То ряд (1) расходится.   В самом деле, если бы он сходился, то

равнялся бы нулю.   Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S_n, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

,

расходится, так как

Первая и вторая теоремы сравнения для рядов с положительными членами

Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда

Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем, для n>N), выполняется неравенство: а_n  b_n, то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или - что то же - из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведении, мы можем считать, не нарушая общности, что а_n  b_n при всех значениях n=1,2,3,... Обозначим частные суммы рядов (А) и (В), соответственно, через А_n и В_n, будем иметь: а_n  b_n.

Пусть ряд (В) сходится, тогда его частичные суммы В_n ограничены: В_n  L (L=const; n=1,2,3,...).

В силу предыдущего неравенства, и подобно А_n  L,а это, по той же теореме, влечет за собой сходимость ряда (А).

Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекающая из первой:

Теорема 2. Если существует предел (в предположении, что в_n  0)

 (0   К  + )

то из схоимости ряда (В), при K<+  , вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости первого ряда, при K>0, вытекает расходимость второго. (Таким образом, при 0<К<+  оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно).

Доказательство. Пусть ряд (В) сходится и К<+  . Взяв произвольное число   > 0, по самому определению предела, для достаточно больших n будем иметь

, откуда а_n<(K+   )в_n.

 одновременно с рядом (В) будет сходится и ряд   (К+  )в_n, полученный умножением его членов на постоянное число К+ . Отсюда, по предыдущей теореме, вытекает сходимость ряда (А).

Если же ряд (В) расходится и К>0, то в этом случае обратное отношение   имеет конечный предел; ряд (А) должен быть расходящимся, ибо если бы он сходился, то, по доказанному, сходился бы и ряд (В).

Признак Даламбера

  Пусть дан ряд

u1+u2+u3+...+un+... ,

(1)

с положительными членами.   Относительно этого ряда имеют место две следующие теоремы Даламбера.

  Теорема 1. Если отношение каждого последующего члена ряда (1) к предидущему члену меньше фиксированного числа q<1 (или равно q), то ряд (1) сходится; если это отношение больше 1 (или равно 1), то ряд (1) расходится.   Доказательство. 1. Пусть

  Тогда имеют место неравенства

(2)

Отсюда

(3)

или

(4)

  Складывая почленно неравенства (4), получим неравенство

(5)

Но

а поэтому

  По условию теоремы, q<1 , а поэтому

Следовательно,

при любом n. Прибавляя u₁ к обеим частям последнего неравенства, получим

или

  Так как все члены ряда (1) положительны и, следовательно, S_n с возрастанием n возрастает, оставаясь меньше

то существует предел S_n и 

  Таким образом ряд (1) сходится.   2. Теперь пусть

Это означает, что с возрастанием n общий член u_n ряда (1) не убывает, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости ряда, а поэтому ряд (1)расходится.

Производящая функция ряда

Производя́щая фу́нкция последовательности {a_n} — это формальный степенной ряд

.

Зачастую производящая функция последовательности чисел является рядом Тейлора некоторой аналитической функции, что может использоваться для изучения свойств самой последовательности. Однако, в общем случае производящая функция не обязана быть аналитической. Например, оба ряда

 и 

имеют радиус сходимости ноль, то есть расходятся во всех точках, кроме нуля, а в нуле оба равны 1, то есть как функции они совпадают; тем не менее, как формальные ряды они различаются.