Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Готовые вопросы к экзамену по математике, БЛЕАТ....docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
15.04.2019
Размер:
926.59 Кб
Скачать

Свойства

  • Производящая функция суммы (или разности) двух последовательностей равна сумме (или разности) соответствующих производящих функций.

  • Произведение производящих функций   и   последовательностей {an} и {bn} является производящей функцией свёртки  этих последовательностей:

Интегральный признак Коши сходимости числовых рядов

Исследовать сходимость ряда  . Рассмотрим вспомогательный ряд   и применим к нему интегральный признак Коши:  Так как интеграл   сходится, то, согласно интегральному признаку Коши, будет сходиться и ряд  . Так как  , то, согласно признаку сравнения, будет сходиться и ряд  .

Радикальный признак Коши

Если для числового ряда

с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство  то данный ряд сходится.

Знакочередующиеся числовые ряды. Признак сходимости Лейбница.

 Знакочередующимся числовым рядом называется ряд

Т. (признак Лейбница): Если для ряда  вы-

полняются условия:  то этот ряд сходится, причем его сумма и

Рассмотрим частичную сумму члены которой сгруппируем по два:

В силу условия 1) разности в скобках положительны, поэтому последовательность возрастающая и

Перегруппируем члены

отсюда Возрастающая и ограниченная последовательность имеет предел

Для последовательности нечетных сумм в силу условия 2) имеем

Таким образом,  и ряд сходится

Признак Лейбница

Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

  1.  (монотонное невозрастание {an} по абсолютной величине)

  2. .

Тогда этот ряд сходится.

Замечания: Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность an существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример

. Ряд из модулей имеет вид   — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

  1. знакочередование выполнено 

  2. .

Следовательно, т.к. все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда rn является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

.

Признак сходимости для рядов с членами любого знака

Теорема 3. Пусть ряд a1 + a2 + a3 + ...  таков, что существует предел

     Если l < 1, то ряд сходится, а если l > 1, то расходится.

     Действительно, если l < 1, то по признаку Даламбера будет сходиться ряд абсолютных величин членов данного ряда, а значит, и подавно и сам ряд a1 + a2 + a3 + ...  Если же l > 1, то найдется такое m, что при n ≥ m будет

Но тогда

|am| < |am+1| < |am+2| < ...,

и общий член ряда a1 + a2 + a3 + ...  не стремится к нулю, откуда вытекает расходимость этого ряда.

абсолютно и условно сходящиеся ряды