14. Понятие предиката.

Средства, предоставляемые логикой высказываний, ока­зываются недостаточными для анализа многих математи­ческих рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Предикатом называется предложение содержащие переменную величину, такое что при подстановке конкретных значений вместо переменной величины появляется высказывание.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Одноместным предикатом Р(х) на­зывается произвольная функция переменного х, опреде­ленная на множестве М и принимающая значения из

множества {1,0}.

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.

Множество всех элементов х  М , при которых преди­кат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истиннос­ти предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х  М, Р(х) = 1}.

15. Кванторные операции над предикатами.

Пусть имеется предикат Р(х), определенный на мно­жестве М. Если а с М , то при подстановке а вместо х в предикат Р(х) получится высказыва­ние Р(а). Такое высказывание называется единичным. Наряду с образованием из предикатов единичных выс­казываний в логике предикатов рассматривается еще две операции, которые превращают одноместный пре­дикат в высказывание.

Определение 8. Пусть Р(х) – предикат, определен­ный на множестве М. Под выражением  понима­ют высказывание, истинное, когда Р(х) тождественно истинный на множестве М предикат, и ложное в против­ном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Со­ответствующее ему словесное выражение будет: «Для вся­кого х Р(х) истинно». Символ  называют квантором всеобщности.

Переменную х в предикате Р(х) называ­ют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании  переменную х называют связанной квантором .Определение 9. Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением  понимают выс­казывание, которое является истинным, если существует хотя бы один элемент , для которого Р(х) истинно, и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет: «Существует х, при котором Р(х) истинно». Сим­вол  называют квантором существования. В высказы­вании  переменная х связана квантором .Пример 5. Пусть на множестве N натуральных чисел задан предикат Р(х): «Число х кратно 5». Используя кванторы, из данного предиката можно получить высказывания:  – «Все натуральные числа кратны 5»;  – «Су­ществует натуральное число, кратное 5». Очевидно, пер­вое из этих высказываний ложно, а второе истинно.

Ясно, что высказывание  истинно только в том единственном случае, когда Р(х) – тождественно истинный предикат, а высказывание  ложно толь­ко в том единственном случае, когда Р(х) – тождествен­но ложный предикат.

Кванторные операции применяются и к многомест­ным предикатам. Так, применение к двухместному предикату  Q(х,у) квантора всеобщности по переменной х дает одноместный предикат , зависящий от у. К этому предикату можно применить кванторную операцию по переменной у. В результате получим или выс­казывание  или высказывание .