Понятие предиката. Понятие предикатной формулы; свободные и связанные переменные.
Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математических рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.
Предикатом называется предложение содержащие переменную величину, такое что при подстановке конкретных значений вместо переменной величины появляется высказывание.
Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из
множества {1,0}.
Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.
Множество всех элементов х М , при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истинности предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х М, Р(х) = 1}.
Понятие предиката.
Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математических рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.
Предикатом называется предложение содержащие переменную величину, такое что при подстановке конкретных значений вместо переменной величины появляется высказывание.
Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из
множества {1,0}.
Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.
Множество всех элементов х М , при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истинности предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х М, Р(х) = 1}.
Построение отрицаний к предикатам, содержащим кванторные операции.
Понятие бинарного отношения; примеры бинарных отношений. Диаграмма бинарного отношения.
Пусть
А и В - множества. Выражение вида (а,в),
где
и
,
называется упорядоченной
парой.
Бинарным
отношением называется любое множество
упорядоченных пар. Пусть даны два
множества А и В. Бинарным отношением на
паре множеств А и В называется любое
подмножество декартова произведения
А на В. R
c
AxB.
Определение 1.1.
Декартовым
произведением
множеств А и В называется множество АxВ
всех упорядоченных пар (а,в) таких, что
а А, в В .
Определение 1.2. Соответствием между множествами А и В (или соответствием из А в В) называется любое подмножество декартова произведения АxВ. Если множества А и В совпадают, то соответствие между множествами А и В называют также бинарным отношением на множестве А. Хорошо известными примерами отношений из школьного курса математики являются:
на множестве целых чисел Z отношения "делится", "делит", "равно", "больше", "меньше", "взаимно просты";
на множестве прямых пространства отношения "параллельны", "взаимно перпендикулярны", "скрещиваются", "пересекаются", "совпадают";
на множестве окружностей плоскости "пересекаются", "касаются", "концентричны".