35. Эйлеровы графы. Теорема Эйлера (критерий эйлеровости графа). Методика нахождения эйлерова цикла в эйлеровом графе.

Эйлеров граф - это граф, в котором существует путь или цикл, содержащий все ребра графа ( вершины могут повторяться). Именно такие графы положительно решают упомянутую в начале лекции задачу о кенигсбергских мостах.

Теорема Эйлера. Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р --- число его ребер и Г --- число граней. Тогда верно равенство

В-Р+Г=2.

Число =В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2.

Для доказательства теоремы Эйлера возьмем произвольную грань F₁ многогранника, а также смежную с ней по ребру грань F₂. Подчеркнем, что эту пару граней ограничивает связный (т. е. состоящий из одного куска) несамопересекающийся контур из ребер этих граней. Выберем третью грань F₃, которая прилегает к этой паре по некоторому связному куску ломаной, состоящей из ребер (рис. 21). Это, как нетрудно увидеть, всегда можно сделать. Тогда граница тройки этих граней тоже представляет собой связный несамопересекающийся контур. Легко показать, что к уже отобранным граням можно присоединить четвертую грань, затем пятую и т. д. так, чтобы получающаяся на очередном шаге совокупность граней F₁, F₂, ..., F_i была ограничена связным несамопересекающимся контуром.

Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся циклом.

Эйлеров граф — граф, содержащий эйлеров цикл.

Критерий эйлеровости графа: «Эйлеров обход в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и все его вершины четной степени».

щдНахождение эйлерова цикла можно выполнить эффективно, с помощью нижепредставленного алгоритма, основная идея которого содержиться в построении произвольных замкнутых циклов (если вы окажетесь в эйлеровом графе, и будете идти произвольно по его ребрам, сжигая их после своего прохода, то рано или поздно вы вернетесь в точку старта), и обьединении таких циклов в единый эйлеров цикл.

36. Гамильтоновы графы.

Гамильтонов граф — в теории графов это граф, содержащий гамильтонову цепь или гамильтонов цикл.

Гамильтоновой цепью графа называется его простая цепь, которая проходит через каждую вершину графа точно один раз. Цикл графа, проходящий через каждую его вершину, называется гамильтоновым циклом. Граф называется гамильтоновым, если он обладает гамильтоновым циклом.

37. Деревья и их свойства. Кодирование Пруфера для деревьев с пронумерованными вершинами.

Деревья

Дерево - это частный случай графа, наиболее широко применяемый в программировании.

Основные определения

Существует довольно много равносильных определений деревьев, вот лишь некоторые из них.

Дерево - это связный граф без циклов.

Дерево - это связный граф, в котором при N вершинах всегда ровно N-1 ребро.

Дерево - это граф, между любыми двумя вершинами которого существует ровно один путь.

38. Понятие ориентированного графа (орграфа). Способы задания орграфа. Матрица смежности для орграфа. Степень входа и степень выхода вершины.

Ориентированные графы

Орграф - это граф, все ребра которого имеют направление. Такие направленные ребра называются дугами. На рисунках дуги изображаются стрелочками (см. рис. 11.6).

В отличие от ребер, дуги соединяют две неравноправные вершины: одна из них называется началом дуги ( дуга из нее исходит ), вторая - концом дуги ( дуга в нее входит ). Можно сказать, что любое ребро - это пара дуг, направленных навстречу друг другу.

Матрица смежности Sm - это квадратная матрица размером NxN ( N - количество вершин в графе ), заполненная единицами и нулями по следующему правилу:

Если в графе имеется ребро e, соединяющее вершины u и v, то Sm[u,v] = 1, в противном случае Sm[u,v] = 0.

Заметим, что данное определение подходит как ориентированным, так и неориентированным графам: матрица смежности для неориентированного графа будет симметричной относительно своей главной диагонали, а для орграфа - несимметричной.

Вершины в графе могут отличаться друг от друга тем, скольким ребрам они принадлежат. Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина. Степенью выхода вершины А ориентированного графа называют число выходящих из А ребер. Степенью входа вершины А ориентированного графа называется число входящих в А ребер.